Математика примеры решения задач математический анализ

Математика
Учебник по высшей математике
Матрицы
Векторы
Вычисление пределов
Исследование функции
Математическая логика
Производная функции
Неопределенный интеграл
Вычисление определенного интеграла
Двойной интеграл
Вычислить тройной интеграл
Метод замены переменной
Интегрирование по частям
Вычислить интеграл от функции
комплексного переменного
Вычислить криволинейный интеграл
Вычисление криволинейных
интегралов 1-го рода
Поверхностный интеграл
Функции комплексной переменной
Функции нескольких переменных
Векторное поле

Решение типовых задач

Графика
Начертательная геометрия
Расчет электрических цепей
Расчет  разветвленной цепи постоянного
тока
Баланс мощностей
Расчет переходных процессов
в электрических цепях
Расчет электрических цепей
несинусоидального периодического тока
Метод узловых потенциалов
Метод наложения
Трехфазный электрический ток
Соединение потребителей звездой
Генератор с параллельным возбуждением
Двигатель постоянного тока
Электроника
ТВЕРДОТЕЛЬНАЯ ЭЛЕКТРОНИКА
Генератор сигналов специальной формы
Изучение статических характеристик
полевых транзисторов
Основные параметры полевого транзистора
Изучение оптоэлектронных приборов
оптопара (оптрон)
Вольтамперная характеристика
Классификация изделий микроэлектроники.
Эпитаксия
Нанесение тонких пленок.
Полевой транзистор с изолированным
затвором
ФОТОЭЛЕКТРОННЫЕ ПРИБОРЫ
Фоторезисторы
ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ
ЭЛЕКТРОТЕХНИКИ
Физика Конспект лекций,
лабораторные и задачи курсовых работ
Звуковые волны
Тепловое излучение
Оптическая пирометрия
Механические гармонические колебания
Дифференциальное уравнение
вынужденных колебаний
Электромагнитные волны
Энергия электромагнитных волн
Переменный ток
Квантовая теория электропроводности
металлов
Металлы, диэлектрики и полупроводники
Полупроводниковые диоды и триоды
Элементы электронной оптики
Методы наблюдения интерференции света
Применение интерференции света
Разрешающая способность оптических
приборов
Поляризация света
Анализ поляризованного света
Квантовая механика
Элементы квантовой механики
Принцип причинности в квинтовой механике
Принцип Паули
Рентгеновские спектры
Квантовая статистика
Физика атомного ядра
Ядерные силы
Элементы современной физики
атомов и молекул
Закон радиоактивного распада
Ядерные реакции и их основные типы
Цепная реакция деления
Типы взаимодействий элементарных частиц

 

Уравнение линии на плоскости Как известно, любая точка на плоскости определяется двумя координатами в какой- либо системе координат. Системы координат могут быть различными в зависимости от выбора базиса и начала координат.

Уравнение прямой по точке и вектору нормали В декартовой прямоугольной системе координат вектор с компонентами (А, В) перпендикулярен прямой , заданной уравнением Ах + Ву + С = 0

Уравнение прямой по точке и направляющему вектору По аналогии с пунктом, рассматривающим уравнение прямой через вектор нормали можно ввести задание прямой через точку и направляющий вектор прямой.

Нормальное уравнение прямой Пример. Прямая отсекает на координатных осях равные положительные отрезки. Составить уравнение прямой, если площадь треугольника, образованного этими отрезками равна 8 см2

Угол между прямыми на плоскости Уравнение прямой, проходящей через данную точку перпендикулярно данной прямой.

примеры Для самостоятельного решения:  Даны стороны треугольника x + y – 6 = 0, 3x – 5y + 15 = 0, 5x – 3y – 14 = 0. Составить уравнения его высот. Указание: Сначала следует найти координаты вершин треугольника, как точек пересечения сторон, затем воспользоваться методом, рассмотренном в предыдущем примере.

Кривые второго порядка.

Гипербола Определение. Гиперболой называется множество точек плоскости, для которых модуль разности расстояний от двух данных точек, называемых фокусами есть величина постоянная, меньшая расстояния между фокусами

Пример Найти уравнение гиперболы, вершины и фокусы которой находятся в соответствующих вершинах и фокусах эллипса .

Парабола Параболой называется множество точек плоскости, каждая из которых находится на одинаковом расстоянии от данной точки, называемой фокусом, и от данной прямой, называемой директрисой и не проходящей через фокус

Системы координат

Любая точка на плоскости может быть однозначно определена при помощи различных координатных систем, выбор которых определяется различными факторами. Способ задания начальных условий для решения какой – либо конкретной технической задачи может определить выбор той или иной системы координат. Для удобства проведения вычислений часто предпочтительнее использовать системы координат, отличные от декартовой прямоугольной системы. Кроме того, наглядность представления окончательного ответа зачастую тоже сильно зависит от выбора системы координат. Ниже рассмотрим некоторые наиболее часто используемые системы координат.

Полярная система координат

Уравнение кривой в полярной системе координат Уравнение кривой в полярной системе координат имеет вид: . Найти уравнение кривой в декартовой прямоугольной системе координат, определит тип кривой, найти фокусы и эксцентриситет. Схематично построить кривую.

Цилиндрическая и сферическая системы координат Как и на плоскости, в пространстве положение любой точки может быть определено тремя координатами в различных системах координат, отличных от декартовой прямоугольной системы. Цилиндрическая и сферическая системы координат являются обобщением для пространства полярной системы координат, которая была подробно рассмотрена выше.

Аналитическая геометрия в пространстве Как на плоскости, так и в пространстве, любая линия может быть определена как совокупность точек, координаты которых в некоторой выбранной в пространстве системе координат удовлетворяют уравнению

Параметрическое уравнение прямой Т.к. этому уравнению удовлетворяют координаты любой точки прямой, то полученное уравнение – параметрическое уравнение прямой.

Уравнение прямой в пространстве, проходящей через две точки Если на прямой в пространстве отметить две произвольные точки M1(x1, y1, z1) и M2(x2, y2, z2), то координаты этих точек должны удовлетворять полученному выше уравнению прямой

 Пример. Найти каноническое уравнение

Угол между плоскостями.

Условия параллельности и перпендикулярности прямых в пространстве

Линейное (векторное) пространство

Свойства линейных пространств

Примеры

Матрицы линейных преобразований

Примеры

Условия параллельности и перпендикулярности прямой и плоскости в пространстве

Собственные значения и собственные векторы линейного преобразования

Рассмотрим частный случай.

Пример. Найти характеристические числа и собственные векторы линейного преобразования с матрицей А

Пример

Квадратичные формы

Привести к каноническому виду квадратичную форму Ф(х1, х2) = 27

Используя теорию квадратичных форм, привести к каноническому виду уравнение линии второго порядка.

Линейная алгебра.

Основные определения Матрица может состоять как из одной строки, так и из одного столбца. Вообще говоря, матрица может состоять даже из одного элемента.

Операция умножения матриц Свойства операции умножения матриц. 1)Умножение матриц не коммутативно, т.е. АВ ¹ ВА даже если определены оба произведения. Однако, если для каких – либо матриц соотношение АВ=ВА выполняется, то такие матрицы называются перестановочными. Самым характерным примером может служить единичная матрица, которая является перестановочной с любой другой матрицей того же размера. Перестановочными могут быть только

примеры

Определители ( детерминанты)

примеры

Элементарные преобразования Если в матрице А выделить несколько произвольных строк и столько же произвольных столбцов, то определитель, составленный из элементов, расположенных на пересечении этих строк и столбцов называется минором матрицы А. Если выделено s строк и столбцов, то полученный минор называется минором порядка s. Заметим, что вышесказанное применимо не только к квадратным матрицам, но и к прямоугольным.

Cвойства обратных матриц

Базисный минор матрицы. Ранг матрицы. В матрице порядка m ´n минор порядка r называется базисным, если он не равен нулю, а все миноры порядка r+1 и выше равны нулю, или не существуют вовсе, т.е. r совпадает с меньшим из чисел m или n. Столбцы и строки матрицы, на которых стоит базисный минор, также называются базисными. В матрице может быть несколько различных базисных миноров, имеющих одинаковый порядок.

Матричный метод решения систем линейных уравнений

Метод Крамера (Габриель Крамер (1704-1752) швейцарский математик) Данный метод также применим только в случае систем линейных уравнений, где число переменных совпадает с числом уравнений. Кроме того, необходимо ввести ограничения на коэффициенты системы. Необходимо, чтобы все уравнения были линейно независимы, т.е. ни одно уравнение не являлось бы линейной комбинацией остальных

примеры

Решение произвольных систем линейных уравнений Как было сказано выше, матричный метод и метод Крамера применимы только к тем системам линейных уравнений, в которых число неизвестных равняется числу уравнений. Далее рассмотрим произвольные системы линейных уравнений.

Элементарные преобразования систем

Метод Гаусса

Элементы векторной алгебры

Определение

Линейная зависимость векторов

примеры

Линейные операции над векторами в координатах

примеры

Векторное произведение векторов

примеры

Смешанное произведение векторов

Уравнение поверхности в пространстве Любое уравнение, связывающее координаты x, y, z любой точки поверхности является уравнением этой поверхности.

Уравнение плоскости по двум точкам и вектору, коллинеарному плоскости

Уравнение плоскости в отрезках

примеры

Элементы математической логики  Математическая логика – разновидность формальной логики, т.е. науки, которая изучает умозаключения с точки зрения их формального строения.

Конъюнкция Дизъюнкция

Импликация Эквиваленция

Примеры

Булевы функции

Исчисление предикатов

Конечные графы и сети. Основные определения

Матрицы графов

Примеры

Достижимость и связность. Вершина w графа D (или орграфа) называется достижимой из вершины v, если либо w=v, либо существует путь из v в w(маршрут, соединяющий v и w).

Деревья и циклы

Элементы топологии Топология изучает понятия непрерывности и близости с абстрактной точки зрения.

Открытые и замкнутые множества

Непрерывные отображения

Топологические произведения

Введение в математический анализ

Числовая последовательность

Определение

Ограниченные и неограниченные последовательности

Монотонные последовательности Все эти последовательности называются монотонными. Возрастающие и убывающие последовательности называются строго монотонными.

Число е

Связь натурального и десятичного логарифмов

Предел функции при стремлении аргумента к бесконечности

Основные теоремы о пределах

Бесконечно малые функции Функция f(x) называется бесконечно малой при х®а, где а может быть числом или одной из величин ¥, + ¥ или -¥, если .

Бесконечно большие функции и их связь с бесконечно малыми

Свойства эквивалентных бесконечно малых

Некоторые замечательные пределы

Пример

Непрерывность функции в точке Если функция f(x) определена в некоторой окрестности точки х0, но не является непрерывной в самой точке х0, то она называется разрывной функцией, а точка х0 – точкой разрыва.

Непрерывность некоторых элементарных функций

Точки разрыва и их классификация

Свойства функций, непрерывных на отрезке

Пример

Комплексные числа

Тригонометрическая форма числа  Такая форма записи называется тригонометрической формой записи комплексного числа.

Возведение в степень

Показательная форма комплексного числа

Разложение многочлена на множители

Пример

Элементы высшей алгебры

Основные понятия теории множеств

Операции над множествами

Пример

Отношения и функции

Алгебраические структуры