Вычисление пределов
Криволинейный интеграл
Карта сайта

Аналитическая геометрия Собственные значения и собственные векторы

  Рассмотрим частный случай. Пусть А – некоторое линейное преобразование плоскости, матрица которого равна . Тогда преобразование А может быть задано формулами:

 

в некотором базисе .

  Если преобразование А имеет собственный вектор с собственным значением l, то А.

Геометрические приложения поверхностных интегралов С помощью поверхностных интегралов вычисляются Площадь поверхности; Пример Вычислить площадь поверхности части параболоида , лежащей выше плоскости xy. Решение задач на вычисление интеграла Математика лекции, задачи. Примеры выполнения курсового и типового задания

 или 

 

  Т.к. собственный вектор ненулевой, то х1 и х2 не равны нулю одновременно. Т.к. данная система однородна, то для того, чтобы она имела нетривиальное решение, определитель системы должен быть равен нулю. В противном случае по правилу Крамера система имеет единственное решение – нулевое, что невозможно.

 

  Полученное уравнение является характеристическим уравнением линейного преобразования А.

  [an error occurred while processing this directive]

 Таким образом, можно найти собственный вектор 1, х2) линейного преобразования А с собственным значением l, где l - корень характеристического уравнения, а х1 и х2 – корни системы уравнений при подстановке в нее значения l.

 

  Понятно, что если характеристическое уравнение не имеет действительных корней, то линейное преобразование А не имеет собственных векторов.

  Следует отметить, что если - собственный вектор преобразования А, то и любой вектор ему коллинеарный – тоже собственный с тем же самым собственным значением  l.

 Действительно, . Если учесть, что векторы имеют одно начало, то эти векторы образуют так называемое собственное направление или собственную прямую.

 

  Т.к. характеристическое уравнение может иметь два различных действительных корня l1 и l2, то в этом случае при подстановке их в систему уравнений получим бесконечное количество решений.  (Т.к. уравнения линейно зависимы). Это множество решений определяет две собственные прямые.

 

  Если характеристическое уравнение имеет два равных корня l1 = l2 = l, то либо имеется лишь одна собственная прямая, либо, если при подстановке в систему она превращается в систему вида: . Эта система удовлетворяет любым значениям х1 и х2. Тогда все векторы будут собственными, и такое преобразование называется преобразованием подобия.

 


На главную страницу сайта