Вычисление пределов
Криволинейный интеграл
Карта сайта

Ограниченные и неограниченные последовательности. Примеры

 

  Пример. Показать, что при n®¥ последовательность 3,  имеет пределом число 2.

 

  Итого: {xn}= 2 + 1/n; 1/n = xn – 2

Очевидно, что существует такое число n, что , т.е. lim {xn} = 2.

 

  Теорема. Последовательность не может иметь более одного предела. Произвольная система линейных уравнений

 

  Доказательство. Предположим, что последовательность {xn}имеет два предела a и b, не равные друг другу.

xn ® a; xn ® ba ¹ b.

Тогда по определению существует такое число e >0, что

Запишем выражение:

А т.к. e- любое число, то , т.е. a = b. Теорема доказана.

 

 

  Теорема. Если xn ® a, то .

 

  Доказательство. Из xn ® a следует, что . В то же время:

 

, т.е.   , т.е. . Теорема доказана.

 

  Теорема. Если xn ® a, то последовательность {xn} ограничена.

 

Следует отметить, что обратное утверждение неверно, т.е. из ограниченности последовательности не следует ее сходимость.

 

  Например, последовательностьне имеет предела, хотя


На главную страницу сайта