Вычисление пределов
Криволинейный интеграл
Карта сайта

Свойства эквивалентных бесконечно малых

 

  1) a ~ a

  2) Если a ~ b и b ~ g, то a ~ g

  3) Если a ~ b, то b ~ a

             4) Если a ~ a1 и b ~ b1 и , то и  или . Числовые ряды Курс лекций по математике

 

 

Следствие:  а) если a ~ a1 и , то и

  б) если b ~ b1 и , то

Свойство 4 особенно важно на практике, т.к. оно фактически означает, что предел отношения бесконечно малых не меняется при замене их на эквивалентные бесконечно малые. Этот факт дает возможность при нахождении пределов заменять бесконечно малые на эквивалентные им функции, что может сильно упростить вычисление пределов.

  [an error occurred while processing this directive]

  Пример. Найти предел

Так как tg5x ~ 5x и sin7x ~ 7x при х ® 0, то, заменив функции эквивалентными бесконечно малыми, получим:

 

 Пример. Найти предел .

Так как 1 – cosx =  при х®0, то .

 

  Пример. Найти предел

 

  Если a и b - бесконечно малые при х®а, причем b - бесконечно малая более высокого порядка, чем a, то g = a + b - бесконечно малая, эквивалентная a. Это можно доказать следующим равенством .

  Тогда говорят, что a - главная часть бесконечно малой функции g.

 

  Пример. Функция х2 +х – бесконечно малая при х®0, х – главная часть этой функции. Чтобы показать это, запишем a = х2, b = х, тогда

.


На главную страницу сайта