Вычисление пределов
Криволинейный интеграл
Карта сайта

Введение в математический анализ Комплексные числа

 

 Определение. Комплексным числом z называется выражение , где a и b – действительные числа, i – мнимая единица, которая определяется соотношением:

 При этом число a называется действительной частью числа z (a = Re z), а b- мнимой частью (b = Im z).

 Если a =Re z =0, то число z будет чисто мнимым, если b = Im z = 0, то число z будет действительным.

 

 Определение. Числа  и называются комплексно – сопряженными.

 

 Определение. Два комплексных числа   и  называются равными, если соответственно равны их действительные и мнимые части:

Метод подстановки (замена переменной интегрирования)

 Определение. Комплексное число равно нулю, если соответственно равны нулю действительная и мнимая части.

 

 

 Понятие комплексного числа имеет геометрическое истолкование. Множество комплексных чисел является расширением множества действительных чисел за счет включения множества мнимых чисел. Комплексные числа включают в себя все множества чисел, которые изучались ранее. Так натуральные, целые, рациональные, иррациональные, действительные числа являются, вообще говоря, частными случаями комплексных чисел.

 Если любое действительное число может быть геометрически представлено в виде точки на числовой прямой, то комплексное число представляется точкой на плоскости, координатами которой будут соответственно действительная и мнимая части комплексного числа. При этом горизонтальная ось будет являться действительной числовой осью, а вертикальная - мнимой осью.

 

 

 


 

 Таким образом, на оси ОХ располагаются действительные числа, а на оси ОY – чисто мнимые.

 С помощью подобного геометрического представления можно представлять числа в так называемой тригонометрической форме. 


На главную страницу сайта