Вычисление пределов
Криволинейный интеграл
Карта сайта

Дискретная математика алгебраическая операция

 Определение. На множестве А определена алгебраическая операция, если каждым двум элементам этого множества, взятым в определенном порядке, однозначным образом поставлен в соответствие некоторый третий элемент из этого же множества.

 Примерами алгебраических операций могут служить такие операции как сложение и вычитание целых чисел, сложение и вычитание векторов, матриц, умножение квадратных матриц, векторное умножение векторов и др.

 Отметим, что скалярное произведение векторов не может считаться алгебраической операцией, т.к. результатом скалярного произведения будет число, и числа не относятся к множеству векторов, к которому относятся сомножители.

 

 Определение. Множество А с определенной на нем алгебраической операцией (например, умножением) называется группой, если выполнены следующие условия:

 1) для любых трех элементов a, b, c Î A выполняется свойство ассоциативности:

 2) в множестве А существует такой элемент е, что для любого элемента а из этого множества выполняется равенcтво: Игры с "природой" В рассмотренных выше матричных играх предполагалось, что в них принимают участие два игрока, интересы которых противоположны. Поэтому действия каждого игрока направлены на увеличение выигрыша (уменьшение проигрыша). Однако в некоторых задачах, приводящихся к игровым, имеется неопределенность, вызванная отсутствием информации об условиях, в которых осуществляется действие (погода, покупательский спрос и т.д.). Эти условия зависят не от сознательных действий другого игрока, а от объективной действительности. Такие игры называются играми с природой. Человек в играх с природой старается действовать осмотрительно, второй игрок (природа, покупательский спрос) действует случайно.

 3) для любого элемента а множества существует элемент а’ из этого же множества такой, что

 Различные множества могут являться группой относительно какой- либо операции и не являться группой относительно другой операции.

 Число элементов называется порядком группы.

 Определение. Между элементами множеств M и N установлено взаимно однозначное соответствие, если каждому элементу множества М поставлен в соответствие определенный элемент множества N, причем различным элементам одного множества соответсвуют различные элементы другого множества.

 Определение. Две группы M и N называются изоморфными, если между их элементами можно установить взаимно однозначное соответсвие, при котором для любых двух элементов a, bÎ M и соответствующим им элементам a’, bÎ N  элементу

с = ab будет соответствует элемент c’ = ab.

 При этом отображение группы М на группу N называется гомоморфизмом.

 

 Определение. Если операция, определенная в группе коммутативна, (т.е. для любых элементов a и b группы верно соотношение ab=ba), то такая группа называется коммутативной или абелевой группой.

 Определение. Множество R с двумя определенными в нем алгебраическими операциями, сложением и умножением, называется кольцом, если относительно операции сложения оно является абелевой группой, а операция умножения дистрибутивна, т.е. для любых элементов a, b и с Î R справедливы равенства:

 Если операция умножения, определенная в кольце коммутативна, то такое кольцо называется коммутативным кольцом.

 

 Определение. Полем называется коммутативное кольцо, в котором для любого ненулевого элемента a¹ 0 и любого элемента b существует единственный элемент х такой, что ax = b.

 


На главную страницу сайта