Вычисление пределов
Криволинейный интеграл
Карта сайта

Базисный минор матрицы. Ранг матрицы

Как было сказано выше, минором матрицы порядка s называется определитель матрицы, образованной из элементов исходной матрицы, находящихся на пересечении каких - либо выбранных s строк и s столбцов.  

Определение. В матрице порядка m´n минор порядка r называется базисным, если он не равен нулю, а все миноры порядка r+1 и выше равны нулю, или не существуют вовсе, т.е. r совпадает с меньшим из чисел m или n. Столбцы и строки матрицы, на которых стоит базисный минор, также называются базисными.  В матрице может быть несколько различных базисных миноров, имеющих одинаковый порядок.  

Определение. Порядок базисного минора матрицы называется рангом матрицы и обозначается Rg А.  Очень важным свойством элементарных преобразований матриц является то, что они не изменяют ранг матрицы.

Определение. Матрицы, полученные в результате элементарного преобразования, называются эквивалентными.  Надо отметить, что равные матрицы и эвивалентные матрицы - понятия совершенно различные.  

Поверхности второго порядка. Общий вид уравнения поверхности в R3 : F(x,y,z) = 0 .

Теорема. Наибольшее число линейно независимых столбцов в матрице равно числу линейно независимых строк.   Т.к. элементарные преобразования не изменяют ранг матрицы, то можно существенно упростить процесс нахождения ранга матрицы.    Пример. Определить ранг матрицы. ~ ~ RgA = 2.  Пример: Определить ранг матрицы. ~ ~ ~ Rg = 2. Пример. Определить ранг матрицы. ~, Þ Rg = 2.  Если с помощью элементарных преобразований не удается найти матрицу, эквивалентную исходной, но меньшего размера, то нахождение ранга матрицы следует начинать с вычисления миноров наивысшего возможного порядка. В вышеприведенном примере – это миноры порядка 3. Если хотя бы один из них не равен нулю, то ранг матрицы равен порядку этого минора.

Теорема о базисном миноре.  Теорема. В произвольной матрице А каждый столбец (строка) является линейной комбинацией столбцов (строк), в которых расположен базисный минор. Таким образом, ранг произвольной матрицы А равен максимальному числу линейно независимых строк (столбцов) в матрице.    Если А- квадратная матрица и detA = 0, то по крайней мере один из столбцов – линейная комбинация остальных столбцов. То же самое справедливо и для строк. Данное утверждение следует из свойства линейной зависимости при определителе равном нулю.


На главную страницу сайта