На главную v-garant.ru
Алгебра и аналитическая геометрия Метод Гаусса Комплексные числа Предел функции одной переменной Схема исследования графика функции Исследование функции на экстремум Локальный экстремум функции Функциональные ряды

Учебник по высшей математике

Криволинейный интеграл 2-го рода

Рассмотрим кривую AB, которую пока считаем незамкнутой.

Пусть проекция этой кривой на ось x представляет собой отрезок .

Пусть точки дают разбиение кривой AB. Рассмотрим их проекции , лежащие на отрезке и обозначим .

(Отметим, что точки не обязательно упорядочены так: , т.е. не обязательно дают разбиение отрезка , поэтому некоторые могут быть меньше 0!).

Пусть - определена на AB. Пусть - точка, лежащая на кривой между и . Положим .

Определение. Пусть . Если , то говорят, что I - это криволинейный интеграл второго типа.

Точно также, рассматривая проекции на ось y, определим . Двойной интеграл в полярных координатах Если преобразование стоит в переходе к полярным координатам, то формула (6) примет вид: . Переход к полярным координатам эффективен, если уравнение границы области интегрирования или подынтегральная функция содержит выражение x2+y2.

Интеграл общего вида определяется, как сумма этих двух интегралов.

Вычисление криволинейного интеграла 2-го типа проводится в соответствии со следующей теоремой.

Теорема. При условиях предыдущей теоремы .

Примечание 1.

  1. Если кривая L задана явным уравнением , где - непрерывно дифференцируемая функция, то предыдущая формула принимает вид: .
  2. Если L задана уравнением , то .
  3. Если L - отрезок прямой , то для любой функции P, если L - отрезок прямой , то

для любой функции Q.

Примечание 2. Пусть - угол, составляемый вектором касательной к кривой и положительным направлением оси x. Тогда . Поэтому .

Заметим, что при изменении направления обхода угол изменяется на . При этом , и интеграл в правой части написанного выше равенства меняет свой знак.

Примечание 3. В случае пространственной кривой L: , где - непрерывные на функции, а f - непрерывна на L, то .

Аналогично, для непрерывных на L функций P,Q,R имеем .

Примечание 4. Говорят, что на области задано векторное поле, если каждой точке сопоставлен вектор . Обозначим - радиус-вектор точки и . Тогда (скалярное произведение) . Поэтому . Из физики известно, что эта величина представляет собой работу силы вдоль кривой L.

8.Формула Грина

Эта формула обобщает формулу Ньютона-Лейбница.

Теорема 1. Пусть G - криволинейная трапеция: , где - непрерывные на функции, L - граница области G и направление обхода L выбрано так, что область G остается слева.

Пусть . Тогда .

Знак означает, что контур интегрирования L - замкнутый.

Доказательство. Вычислим .

При каждом фиксированномвеличина определяется, как производная по y функции от одной переменной y, P(x,y). Поэтому при каждом x применима формула Ньютона-Лейбница, согласно которой . Поэтому .

Разобъем кривую L на 4 участка.

. .

Поэтому .

Теорема 2. Пусть G - криволинейная трапеция , где - непрерывные на функции, L - граница G, а направление обхода L выбрано так, что G остается слева.

Пусть .

Тогда .

Доказательство.. Теорема доказана.

Следствие 1. Если область G можно представить как в виде трапеции , где - непрерывно дифференцируемые на функции, так и в виде , где - непрерывно дифференцируемые на функции, L - граница G, причем при ее обходе область G остается слева, то .

Примечание. Области, удовлетворяющие условиям следствия 1 - явление обычное. Например, круг , ограниченный окружностью , можно задать так: , а можно и так: .

Следствие 2. Если область G можно разбить кривыми на конечное число областей, удовлетворяющих условиям следствия 1 и L - граница G, причем направление обхода выбрано так, что область G остается слева, и P и Q удовлетворяют перечисленным выше условиям, то .

Доказательство. Ограничимся случаем, когда область G разбивается на 2 части , удовлетворяющие условиям следствия 1, кривой . Пусть ограничивает , а ограничивает . Тогда, поскольку - это часть L и кривая , а - остаток L и кривая , но проходимая в противоположном направлении (поэтому интегралы по этим добавленным участкам сократятся).

Замечание. Можно доказать формулу Грина для областей, ограниченных замкнутыми кусочно-гладкими кривыми.

 

9.Условие независимости криволинейного интеграла от формы пути на плоскости

Пусть область. Эта область называется односвязной, если вместе с любым замкнутым контуром , лежащем в ограничиваемая контуром область также целиком содержится в .

Пример односвязной области: круг.

Пример неодносвязной области: круг с выколотой точкой. содержит выколотую точку, а - нет, следовательно не входит в целиком.

Теорема 1. Пусть - односвязная область, . Условие, что равносильно тому, что всюду в этой области .

Доказательство.

  1. . Если всюду в выполнено равенство , то по формуле Грина .
  2. . Предположим, что в области есть точка , в которой . Пусть, для определенности, . Тогда существует окрестность точки , в которой значения больше, чем . Выберем в этой окрестности окружность радиуса и рассмотрим

.

По формуле Грина . Это противоречит предположению о том, что должен быть равен 0.

Определение. Пусть - область, , - контур. Будем говорить, что не зависит от формы пути в, если - контуров с началом в точке и концом в точке , .

Теорема 2. Пусть - область. Условие независимости от формы пути в равносильно тому, что для любого замкнутого контура .

Доказательство.

  1. (). Пусть интеграл не зависит от формы пути и пусть - замкнутый контур в . Выберем на две произвольные точки и и рассмотрим соединяющие эти точки части контура , назовем их . При этом состоит из и проходимого в противоположном направлении контура . По условию, . Значит, .
  2. (). Пусть для любого контура

.

А) В случае, если , соединяющие точки не имеют других общих точек, то, как и в предыдущей части, состоит из и проходимой в противоположном направлении . Поэтому , откуда .

Б) Если имеют конечное число общих точек, кроме и , то можно применить пункт 2А к каждому полученному контуру, интеграл по которому в связи с предположением равен 0, и поэтому для каждой такой полученной части .

В) Случай, когда кроме и кривые имеют бесконечное множество общих точек, мы оставим без доказательства.

Сопоставляя теорему 2 с теоремой 1, получаем следствие.

Следствие. Пусть - односвязная область. не зависит в от формы пути интегрирования тогда и только тогда, когда в этой области выполняется тождество .

Интегралы по поверхности 1 и 2 рода

Признак полного дифференциала на плоскости Если - дифференцируемая функция двух переменных, то . Выясним, при каких условиях на существует такая функция , что , т.е. . В предположении непрерывности смешанных производных: или . Докажем, что если - односвязная область, то верно и обратное.

Формула Стокса. Ее векторная запись


Математический анализ