Лекции по математике
Матрицы
Исследование функции
Вычисление пределов
Примеры решения задач
Двойной интеграл
Тройной интеграл
Криволинейный интеграл
Комплексные числа
Поверхностный интеграл
Интегрирование по частям
Карта сайта

 


Учебник по высшей математике

ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

Условия существования определенного интеграла

Определение определенного интеграла

Пусть функция f(x) задана на отрезке [а, b]. Разобьем отрезок [а, b] на п произвольных частей точками:

Выберем в каждом из частичных отрезков [xi, xi+1] произвольную точку ξi:

Теперь образуем сумму произведений: Полное приращение и полный дифференциал. Определение. Для функции f(x, y) выражение Dz = f( x + Dx, y + Dy) – f(x, y) называется полным приращением.

которую будем называть интегральной суммой для функции f(x) на отрезке [а, b]. Геометрический смысл величины σ указан на рис. 7.1: это сумма площадей прямоугольников с основаниями Δxi и высотами f(ξi) (i = 1, 2, ..., п).

Введем еще одну величину. Обозначим через λ длину макcимального частичного отрезка данного разбиения:

Определение. Конечный предел I интегральной суммы σ при λ → 0, если он существует, называется определенным интегралом от функции f(x) по отрезку [а, b]:

Определенный интеграл обозначается символом

Если определенный интеграл (7.2) существует, то функция f(x) называется интегрируемой на отрезке [а, b], числа а и b — соответственно нижним и верхним пределами интегрирования, f(x) — подынтегральной функцией, х — переменной интегрирования.

Величина определенного интеграла, согласно данному выше определению, однозначно определяется видом функции f(x) и числами а и b. Определенный интеграл не зависит от обозначения переменной интегрирования, т.е.

Классы интегрируемых функций

Ответ на вопрос о том, какие функции являются интегрируемыми (т.е. существует определенный интеграл (7.2)), дают следующие теоремы, которые мы приводим без доказательства.

ТЕОРЕМА 1. Если функция f(x) непрерывна на отрезке [а, b], то она интегрируема на нем.

ТЕОРЕМА 2. Если определенная и ограниченная на отрезке [а, b] функция f(x) имеет конечное число точек разрыва, то она интегрируема на этом отрезке.

ТЕОРЕМА 3. Монотонная на отрезке [а, b] функция f(x) интегрируема на этом отрезке.

7.2. Основные свойства определенного интеграла

1. Интеграл  был определен для случая, когда a < b. Обобщим понятие определенного интеграла и на другие случаи.

По определению полагаем

как определенный интеграл на отрезке нулевой длины.

Также по определению полагаем, что

поскольку при движении от b к а все длины частичных отрезков Δxi = xi-1 — xi имеют отрицательный знак в интегральной сумме (7.1).

2. Для любых чисел а, b и с имеет место равенство

3. Постоянный множитель можно выносить за знак определенного интеграла:

4. Определенный интеграл от алгебраической суммы функций равен алгебраической сумме их определенных интегралов:

Заметим, что свойство 4 имеет место для любого конечного числа слагаемых.

Будем полагать далее, что а < b.

5. Если функция f(x) ≥ 0 всюду на отрезке [а, b], то

6. Если f(x) ≤ g(х) всюду на отрезке [а, b], то

7. Если функция f(x) интегрируема на [а, b], то

8. Если М и т — соответственно максимум и минимум функции f(x) на отрезке [а, b], то

7.3. Основная формула интегрального исчисления

ТЕОРЕМА 4. Непрерывная на отрезке [а, b] функция f(x) имеет на этом отрезке первообразную. Одной из первообразных является функция

В формуле (7.8) переменная интегрирования обозначена буквой t, чтобы избежать путаницы с верхним переменным пределом х.

Поскольку всякая другая первообразная отличается от F(x) на постоянную величину, то связь между неопределенным и определенным интегралами имеет вид

где С — произвольная постоянная.

Согласно теореме 7.4 непрерывная на отрезке [а, b] функция f(x) имеет первообразную, которая определяется формулой

где С — некоторая постоянная. Подставляя в (7.9) х = а, с учетом свойства 1 определенного интеграла получаем

Тогда из (7.9) имеем

Полагая х = b, получаем формулу

Равенство (7.10) называется основной формулой интегрального исчисления, или формулой Ньютона-Лейбница.

Разность F(b) — F(a) условно записывают символом F(x), т.е.

Формула (7.11) дает широкие возможности вычисления определенных интегралов. Нужно вычислить неопределенный интеграл и затем найти разность значений первообразной согласно (7.11). Рассмотрим примеры вычисления определенных интегралов.

7.4. Основные правила интегрирования

Замена переменной в определенном интеграле

ТЕОРЕМА 5. Пусть: 1) f(x) — непрерывная функция на отрезке [а, b]; 2) функция φ(t) дифференцируема на [α, β], причем φ'(t) непрерывна на [α, β] и множеством значений функции φ(t) является отрезок [а, b], 3) φ(α) = а, φ(β) = b. Тогда справедлива формула

Формула (7.12) называется формулой замены переменной или подстановки в определенном интеграле.

Заметим, что при вычислении определенного интеграла с помощью замены переменной нет нужды возвращаться к прежней переменной, как это делалось при вычислении неопределенного интеграла, так как определенный интеграл представляет собой число, которое согласно формуле (7.12) равно значению каждого из рассматриваемых интегралов. Теперь при подстановке следует сначала найти новые пределы интегрирования и затем выполнить необходимые преобразования подынтегральной функции.

Заметим также, что при замене переменной в определенном интеграле необходимо соблюдать условия теоремы 7.5, иначе можно получить неверный результат (особое внимание следует уделять выполнению условия 2 теоремы).

Вычислить определенные интегралы методом подстановки.

Решение. Выполним подстановку t = 1 + х2. Тогда dt = 2х dx, t = 1 при х = 0 и t = 2 при х = 1. Поскольку функция х = непрерывна на [1, 2], то и новая подынтегральная функция также непрерывна, и, значит, для нее в силу теоремы 7.5 существует первообразная на этом отрезке. Получаем

Решение. Применим здесь подстановку х = a sin t. Тогда dx = a cos t dt, = a cos t, t = arcsin , t = 0 при x = 0, t =  при x = а. Подставляя все это в исходный интеграл, получим

Решение. По формуле Ньютона-Лейбница имеем

Вычислим этот интеграл при помощи замены переменной t = tg х. Тогда t = 0 при х = 0 и t = 0 при х = π, х = arctg t, т.е. dx = dt / (l + t2). Подстановка в исходный интеграл дает

Полученное противоречие объясняется тем, что функция замены переменной t = tg x имеет разрыв при х = π/2 и не удовлетворяет условию 2 теоремы 7.5.

Интегрирование по частям в определенном интеграле

ТЕОРЕМА 6. Пусть функции и(х) и v(x) имеют непрерывные производные на отрезке [а, b]; тогда справедлива формула

Равенство (7.13) называется формулой интегрирования по частям в определенном интеграле. Рассмотрим ряд примеров вычисления определенных интегралов методом интегрирования по частям.

Решение. Положим здесь и = х, v = e-x, тогда dv = -e-xdx и

Решение. Здесь и = х, sin x dx = dv или v = - cos x; далее по формуле (7.13) имеем

7.5. Геометрические приложения определенного интеграла

Площадь плоской фигуры

Рассмотрим на плоскости Оху фигуру, ограниченную графиком непрерывной и положительной функции f(x) на отрезке [а, b], отрезком [а, b] и вертикальными прямыми х = а и х = b (рис. 7.2). Эту фигуру будем называть криволинейной трапецией.

Величина площади криволинейной трапеции равна определенному интегралу от функции f(x) на отрезке [а, b]:

Если фигура ограничена сверху и снизу неотрицательными функциями f(x) и g(х) соответственно, непрерывными на отрезке [а, b], то площадь S криволинейной фигуры равна разности площадей криволинейных трапеций, ограниченных сверху графиками f(x) и g(х):

Рассмотрим задачи на вычисление площадей фигур.

Пример 1. Найти площадь фигуры, ограниченной графиком функции у = ln x ≥ 0, осью Ох и прямой х = 2.

Решение. Отрезок интегрирования: 1 ≤ х ≤ 2 (рис. 7.3), так что искомая площадь согласно формуле (7.14) равна:

Пример 2. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями у = , у = х2.

Решение. Вычислим абсциссы точек пересечения указанных кривых, для чего приравняем правые части этих уравнений: х2 = . Корни этого уравнения суть x1 = 0, x2 = 1. Следовательно, площадь фигуры, ограниченной сверху функцией у =  и снизу функцией у = x2 (рис. 7.4), дается определенным интегралом на отрезке [0,1]:

Объем тела вращения

Рассмотрим тело, которое образуется при вращении вокруг оси Ох криволинейной трапеции, ограниченной сверху непрерывной и положительной на отрезке [а, b] функцией f(x) (рис. 7.5). Объем этого тела вращения определяется формулой

Если тело образовано вращением криволинейной трапеции вокруг оси Оу, то, выражая х через у как обратную функцию, мы можем получить аналогичным образом формулу для объема тела вращения:

где [c, d] — область изменения функции у = f(x).

Рассмотрим примеры вычисления объемов тел, образованных вращением фигур, ограниченных следующими линиями.

Пример 3. у = х2, у =  вокруг оси Ох.

Решение. Искомый объем вращения равен разности объемов, образованных вращением криволинейных трапеций с верхними границами соответственно у =  и у = х2. Пределы интегрирования определяются по точкам пересечения этих кривых: а = 0 и b = 1. По формуле (7.15) получаем

Пример 4. у = eх, х = 0, х = 1, у = 0 вокруг оси Оу.

Ррешение. Выражаем х через у: х = ln у; промежуток интегрирования [1, е] определяется очевидным образом. Объем тела вращения (рис. 7.6) равен разности объемов соответственно цилиндра радиуса 1 и высоты е и тела вращения вокруг оси Оу криволинейной трапеции, ограниченной сверху кривой х = ln у. Согласно формуле (7.15) получаем

7.6. Некоторые приложения в экономике

Вообще говоря, в экономических задачах переменные меняются дискретно. Для использования определенного интеграла нужно составить некоторую идеализированную модель, предполагающую непрерывное изменение зависимых переменных (функций) и независимых переменных (аргумента). Рассмотрим соответствующие примеры.

Дневная выработка

Найти дневную выработку Р за рабочий день продолжительностью восемь часов, если производительность труда в течение дня меняется по эмпирической формуле

где t — время в часах, р0 — размерность производительности (объем продукции в час), t0 — размерность времени (ч). Эта формула вполне отражает реальный процесс работы (рис. 7.7): производительность сначала растет, достигая максимума в середине рабочего дня при t = 4 ч, а затем падает.

Решение. Полагая, что производительность меняется в течение дня непрерывно, т.е. р является непрерывной функцией аргумента t на отрезке [0, 8], дневную выработку Р можно выразить определенным интегралом:

где а0 — множитель, имеющий размерность единицы продукции. Если бы в течение всего дня работа велась ритмично и с максимальной производительностью ртах = 6,2р0, то дневная выработка составила бы Рmах = 49,6а0, или примерно на 21% больше. Рис. 7.7 иллюстрирует решение задачи: дневная выработка численно равна площади криволинейной трапеции, ограниченной сверху кривой f(t); вторая кривая показывает рост выпуска продукции во времени (график первообразной F(t) соответствует правой оси ординат Р). Значение Т = 4 ч соответствует точке перегиба кривой F(t): в первой половине рабочего дня интенсивность выработки продукции выше, чем во второй. Штрихпунктирная прямая Р = рmахt соответствует выпуску продукции с равномерной производительностью рmах.

Выпуск оборудования при постоянном темпе роста

Производство оборудования некоторого вида характеризуется темпом роста его выпуска

где Δу — прирост выпуска этого оборудования за промежуток времени Δt, а у — уровень его производства за единицу времени на момент времени t. Найти общее количество оборудования, произведенного к моменту времени t, полагая, что К — известная постоянная величина, единицей времени является год, а в начальный момент времени t = 0 уровень ежегодного производства оборудования составлял у0.

Решение. Перейдем к пределу при Δt → 0, полагая, что он существует. Будем также полагать, что у является непрерывной функцией от времени t. Согласно определению производной функции

Интегрируя это равенство в пределах от 0 до t, получаем

Суммарное количество оборудования, выпущенного за промежуток времени t, дается определенным интегралом

Например, при К = 0,05 (5% ежегодного темпа роста) общее количество оборудования, выпущенного за 10 лет, составит

причем уровень производства за указанный период времени увеличится почти на 65%.

7.7. Несобственные интегралы

При рассмотрении определенного интеграла как предела интегральных сумм предполагалось, что подынтегральная функция, во-первых, задана на конечном отрезке и, во-вторых, ограничена. Данное выше определение определенного интеграла не имеет смысла при невыполнении хотя бы одного из этих условий. Нельзя разбить бесконечный интервал на конечное число отрезков конечной длины; при неограниченной функции интегральная сумма не имеет предела. Тем не менее возможно обобщить понятие определенного интеграла и на эти случаи, с чем и связано понятие несобственного интеграла.

Определение. Пусть функция f(x) определена на промежутке [а, +) и интегрируема на любом отрезке [a, R], R > 0, так что интеграл

имеет смысл. Предел этого интеграла при R  называется несобственным интегралом с бесконечным пределом интегрирования:

Если этот предел конечен, говорят, что несобственный интеграл (7.16) сходится, а функцию f(x) называют интегрируемой на бесконечном промежутке [а, ); если же предел в (7.16) бесконечен или не существует, то говорят, что несобственный интеграл расходится.

Аналогичным образом вводится понятие несобственного интеграла по промежутку (-, b]:

Наконец, несобственный интеграл с двумя бесконечными пределами можно определить как сумму несобственных интегралов (7.16) и (7.17):

где с — любое число.

Геометрический смысл несобственного интеграла первого рода заключается в следующем: это площадь бесконечной области (рис. 7.8), ограниченной сверху неотрицательной функцией f(x), снизу — осью Оx, слева — прямой х = а.

Рассмотрим несколько примеров несобственных интегралов.

Здесь пришлось разделить исходный интеграл на два и к каждому из них применить определение несобственного интеграла.

Пример 4. , где α — некоторое положительное число.

Решение. Рассмотрим разные случаи для числа α.

1. При α = 1 для любого R > 0 имеем

т.е. конечного предела не существует и несобственный интеграл расходится.

2. При α ≠ 1 для любого R > 0 получаем

Следовательно, данный интеграл сходится при α > 1 и расходится при α ≤ 1.

В приведенных выше примерах сначала с помощью первообразной вычислялся интеграл по конечному промежутку, а затем осуществлялся переход к пределу. Между тем если для функции f(x) существует первообразная F(x) на всем промежутке интегрирования [а,), то по формуле Ньютона-Лейбница

Отсюда следует, что несобственный интеграл существует (сходится) в том и только в том случае, когда существует конечный предел

и тогда можно записать:

Аналогичный вывод справедлив и для несобственных интегралов вида (7.17) и (7.18):

Иными словами, формула Ньютона-Лейбница (основная формула интегрального исчисления) применима и в случае, когда пределы интегрирования бесконечны.

УПРАЖНЕНИЯ

Вычислить определенные интегралы.

Найти площади фигур, ограниченных следующими линиями.

Найти объемы тел, образованных вращением вокруг оси Ох фигуры, ограниченной следующими линиями.

Вычислить несобственные интегралы в случае их сходимости.

7.32. Найти площадь, заключенную между кривой у = и ее асимптотой при х ≥ 0.

7.33. Найти объем тела, образованного вращением вокруг оси Ох дуги кривой у = e-x от х = 0 до х = +.

Решить задачи с экономическим содержанием.

7.34. Найти стоимость перевозки М т груза по железной дороге на расстояние 1 км при условии, что тариф у перевозки одной тонны убывает на а р. на каждом последующем километре.

7.35. Мощность у потребляемой городом электроэнергии выражается формулой

где t — текущее время суток. Найти суточное потребление электроэнергии при а = 15000 кВт, b = 12000 кВт.


На главную страницу сайта