На главную v-garant.ru
Функции в области экономики Модель Леонтьева Управление и планирование Транспортные задачи Экономический анализ Математический анализ Вычисление длины дуги кривой Криволинейный интеграл 2-го рода Матрицы и определители Многочлены

Учебник по высшей математике

Матрицы и операции над ними

Понятие матрицы

Определение 1. Прямоугольная таблица чисел вида

называется матрицей. Здесь aij — действительные числа (i = 1, 2,..., m, j = 1, 2, ..., n), называемые элементами матрицы, i и j — соответственно индексы строки и столбца. При этом произведение m х n числа строк на число столбцов называют размером матрицы А. Часто матрицу (13.1) записывают в сокращенном виде:

Матрица, все элементы которой равны нулю, называется нулевой матрицей.

Вычисление длины дуги кривой. Пример. Вычислить длину дуги кривой: , между точками пересечения с осями координат. Решение. Данная кривая задана в параметрическом виде, то есть x и y зависят от параметра t. Поэтому, чтобы построить точку с координатами (x,y) нужно задать некоторое значение параметра и потом посчитать x и y .

В том случае, когда m = n (число строк равно числу столбцов):

матрица А называется квадратной.

Упорядоченная совокупность элементов a11, a22,. …, апп называется главной диагональю квадратной матрицы. Квадратная матрица называется диагональной, если ее элементы удовлетворяют условию

т.е. ненулевыми могут быть только элементы главной диагонали; матрица в этом случае имеет вид

Единичной матрицей называется диагональная матрица, у которой все элементы главной диагонали равны единице:

Определение 2. Две матрицы А и В называются равными (А = В), если они имеют одинаковые размеры и их соответствующие элементы равны: aij = bij , i = 1, 2,..., m, j = 1, 2, .... n.

Линейные операции над матрицами

1. Сумма матриц. Суммой матриц А и В одинакового размера называется матрица С того же размера, каждый элемент которой равен сумме соответствующих элементов матриц А и В. Представим это в сокращенной записи. Пусть

Тогда сумма этих матриц С = А + В имеет вид

Пример 1. Пусть даны матрицы А и В:

Тогда их суммой, согласно определению, является матрица

2. Умножение матрицы на действительное число. Произведением матрицы А на действительное число α называется матрица, каждый элемент которой получен умножением соответствующего элемента матрицы А на число α.

Пример 2. Пусть даны матрица А и число α:

Тогда произведением матрицы А на число является матрица

3. Приведем свойства операций суммирования матриц и произведения матрицы на число, непосредственно вытекающие из определения этих операций. Пусть А, В и С — матрицы, имеющие одинаковый размер, а α и β — некоторые действительные числа. Тогда:

1) А + В = В + А,

2) (А + В) + С = А + (В + С),

3) α(А + В) =αА + αВ,

4) (α + β) A = αA + βA,

5) (αβ)А = (αA)β,

6) A + О = А, где О — нулевая матрица,

7) 0А = О.

Транспонирование матриц

Транспонированием матрицы называется замена строк матрицы на ее столбцы с сохранением их порядка (или, что то же самое, замена столбцов матрицы на ее строки). Пусть дана исходная матрица А:

Тогда, согласно определению, транспонированная матрица А' имеет вид

Сокращенная форма записи операции транспонирования матрицы:

Пример 3. Пусть даны матрицы А и В:

Тогда соответствующие транспонированные матрицы имеют вид

Нетрудно заметить две закономерности операции транспонирования матриц.

1. Дважды транспонированная матрица равна исходной матрице:

2. При транспонировании квадратных матриц элементы, находящиеся на главной диагонали, не меняют своих позиций, т.е. главная диагональ квадратной матрицы не меняется при транспонировании.

Важную роль в алгебре и ее приложениях играют симметрические матрицы — квадратные матрицы, у которых элементы, симметричные относительно главной диагонали, равны, т.е. aij = aji. Транспонирование таких матриц не меняет их вида, так что равенство

также можно полагать определением симметрической матрицы.

Умножение матриц

1. Умножение матриц — это специфическая операция, составляющая основу алгебры матриц. Строки и столбцы матриц можно рассматривать как векторы-строки и векторы-столбцы соответствующих размерностей: иными словами, любую матрицу можно интерпретировать как совокупность векторов-строк или векторов-столбцов.

Пусть даны матрица А размером т х п и матрица В размером п х k. Будем рассматривать матрицу А как совокупность т векторов-строк i размерности п каждый, а матрицу В — как совокупность k векторов-столбцов j, каждый из которых содержит по п координат:

Векторы-строки матрицы А и векторы-столбцы матрицы В показаны в записи этих матриц (13.3). Длина строки матрицы А равна высоте столбца матрицы В, и потому скалярное произведение этих векторов имеет смысл.

Определение 3. Произведением матриц А и В называется матрица С, элементы которой cij равны скалярным произведениям векторов-строк i матрицы А на векторы-столбцы j матрицы В:

Произведение матриц А и В — матрица С — имеет размер т х k, поскольку длина п векторов-строк и векторов-столбцов исчезает при суммировании произведений координат этих векторов в их скалярных произведениях, как показано в формулах (13.4). Таким образом, для вычисления элементов первой строки матрицы С необходимо последовательно получить скалярные произведения первой строки матрицы А на все столбцы матрицы В; вторая строка матрицы С получается как скалярные произведения второй вектор-строки матрицы А на все векторы-столбцы матрицы В и так далее. Для удобства запоминания размера произведения матриц нужно перемножить отношения размеров матриц-сомножителей:, т.е. размер матрицы С равен произведению оставшихся в отношении чисел: т х k.

В операции умножения матриц есть характерная особенность: произведение матриц А и В имеет смысл, если число столбцов в А равно числу строк в В. Тогда если А и В — прямоугольные матрицы, то произведение В и А уже не будет иметь смысла, так как в скалярных произведениях, формирующих элементы соответствующей матрицы, должны участвовать векторы с одинаковым числом координат.

Если матрицы А и В квадратные размером n х n, то имеет смысл как произведение матриц АВ, так и произведение матриц BA, причем размер этих матриц такой же, как и у исходных сомножителей. При этом в общем случае перемножения матриц правило перестановочности не соблюдается, т.е. АВ ≠ ВА.

Рассмотрим примеры на умножение матриц.

Решение. Поскольку число столбцов матрицы А равно числу строк матрицы В, то произведение матриц АВ имеет смысл. По формулам (13.4) получаем в произведении матрицу размером 3 х 2:

Произведение ВА не имеет смысла, так как число столбцов матрицы В не совпадает с числом строк матрицы А.

Решение. Здесь мы найдем произведения данных матриц АВ и ВА:

Как видно из результата, матрица произведения зависит от порядка расположения матриц в произведении. В обоих случаях произведения матриц имеют тот же размер, что и у исходных сомножителей: 2 х 2.

Решение. В данном случае матрица В представляет собой вектор-столбец, т.е. матрицу, у которой три строки и один столбец. Вообще, векторы — это частные случаи матриц: вектор-строка длины п представляет собой матрицу с одной строкой и п столбцами, а вектор-столбец высоты n — матрицу с n строками и одним столбцом. Размеры данных матриц соответственно 2 х 3 и 3 х 1, так что произведение этих матриц определено. Имеем

В произведении получена матрица размером 2 х 1 или вектор-столбец высоты 2.

Решение. Путем последовательного умножения матриц находим

2. Свойства произведения матриц. Пусть А, В и С — матрицы соответствующих размеров (чтобы произведения матриц были определены), а α — действительное число. Тогда следующие свойства произведения матриц имеют место:

1) (АВ)С = А(ВС),

2) (А + В)С = AC + ВС,

3) А(В + С) = АВ + АС,

4) α(АВ) = (αА)В = А(αВ).

В п. 1 этого раздела введено понятие единичной матрицы Е. Нетрудно убедиться, что в алгебре матриц она играет роль единицы, т.е. можно отметить еще два свойства, связанные с умножением на эту матрицу слева и справа в случае квадратных матриц:

5) АЕ = А,

6) ЕА = А.

Иными словами, произведение любой матрицы на единичную матрицу, если оно имеет смысл, не меняет исходную матрицу.

Собственные значения и собственные векторы матрицы

Будем рассматривать квадратные матрицы размером п х п, или, что то же самое, матрицы порядка п.

При умножении матрицы порядка п на n-мерный вектор в произведении получается n-мерный вектор:

Для любой матрицы может существовать набор особых векторов, таких, что произведение матрицы на вектор из такого набора равносильно умножению этого вектора на определенное вещественное число (вообще говоря разное для каждого вектора).

Определение 4. Число λ называется собственным значением матрицы А порядка п, если существует такой ненулевой вектор  Rn, что выполняется равенство

При этом вектор  называется собственным вектором матрицы А, а λ — собственным значением матрицы А, соответствующим вектору .

Иными словами, умножение матрицы на ее собственный вектор равносильно удлинению этого вектора в |λ| раз, если |λ| > 1 (или сжатию при |λ| < 1). Если λ = 1, умножение матрицы на соответствующий собственный вектор не меняет его. Уравнение (13.5) представлено в матричной форме. Группируя все слагаемые этого уравнения в левой части, перепишем его в более удобном виде:

где Е и  — соответственно единичная матрица и нулевой вектор.

Если aij — элементы матрицы А, то характеристическая матрица А — λЕ, согласно определениям умножения матрицы на число и суммы матриц, имеет вид

Проблема отыскания собственных значений и собственных векторов матриц составляет основу специального раздела алгебры; в дальнейшем мы еще вернемся к этому вопросу. Здесь лишь отметим один важный результат алгебры матриц: для симметрических матриц (13.2) все п собственных значений являются действительными числами.

13.2. Обратная матрица

Ранг матрицы

Выше уже говорилось, что матрицы размера т х п можно рассматривать как системы, состоящие из m n-мерных векторов (или из п m-мерных векторов). Поскольку любая система векторов характеризуется рангом (п. 12.2), то естественно встает вопрос о такой же характеристике и для матриц. Так как здесь имеют место две совокупности векторов — векторы-строки и векторы-столбцы, то у матрицы, вообще говоря, два ранга — строчный и столбцовый. Ответ на вопрос об их равноправии дает следующая теорема.

ТЕОРЕМА 1. Строчный и столбцовый ранги любой матрицы равны.

Доказательство этой теоремы мы опускаем.

Стало быть, ранг любой матрицы размера т х п можно искать как ранг одной из двух систем векторов: либо т векторов-строк, либо п векторов-столбцов. Как следует из п. 12.2, для прямоугольной матрицы максимальный ранг r = min (m, n). Для квадратной матрицы размером п х n ее максимальный ранг не может превышать п: r ≤ п.

Понятие обратной матрицы

Понятие обратной матрицы распространяется только на квадратные матрицы, поэтому здесь и далее мы будем иметь дело с матрицами порядка п.

Определение 1. Матрица порядка п называется вырожденной, если ее ранг r < п.

Определение 2. Матрица А-1 называется обратной по отношению к матрице А, если их произведение равно единичной матрице:

Несколько забегая вперед, отметим, что для вырожденной матрицы не существует обратной матрицы. Иными словами, если для некоторой матрицы порядка п ее ранг r < п, то для нее не существует обратной матрицы.

УПРАЖНЕНИЯ

13.1. Найти матрицу С = 2А - В, где

13.2. Даны следующие матрицы:

Найти: а) все произведения матриц, которые имеют смысл; б) соответствующие транспонированные матрицы; в) матрицу 2G – С2, г) матрицу С3.

13.3. Дана матрица . Проверить непосредственным вычислением, какие из данных ниже векторов являются собственными векторами этой матрицы, и указать соответствующие собственные значения:

Система линейных алгебраических уравнений Этот раздел является одним из основных в алгебре. Нет такой отрасли науки и приложений, где в том или ином виде не использовались бы системы линейных алгебраических уравнений.

Векторное пространство Понятие и основные свойства вектора Приведем обобщение понятия вектора на n-мерный случай.

Операции над определителями и основные свойства Понятие определителя Любой квадратной матрице А порядка n ставится в соответствие по определенному закону некоторое число, называемое определителем, или детерминантом, n-го порядка этой матрицы. Начнем с определителей второго и третьего порядков.

Геометрическая интерпретация системы линейных уравнений


Схема исследования графика функции