На главную v-garant.ru
Функции в области экономики Модель Леонтьева Управление и планирование Транспортные задачи Экономический анализ Математический анализ Вычисление длины дуги кривой Криволинейный интеграл 2-го рода Матрицы и определители Многочлены

Учебник по высшей математике

ОСНОВЫ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ

Управление и планирование являются наиболее сложными функциями в работе предприятий, фирм, служб администраций всех уровней. Долгое время они являлись монополией человека с соответствующей подготовкой и опытом работы. Совершенствование науки, техники, разделение труда усложнили принятие решений в управлении и планировании.

Для принятия обоснованного решения необходимо иметь и обработать большое количество информации, определяемое иногда астрономическими цифрами. Принятие ответственных решений, как правило, связано с большими материальными ценностями. В настоящее время недостаточно знать путь, ведущий к достижению цели. Необходимо из всех возможных путей выбрать наиболее экономичный, который наилучшим образом соответствует поставленной задаче.

Появление цифровых вычислительных машин и персональных компьютеров создало огромные возможности для развития науки, совершенствования методов планирования и управления производством. Однако без строгих формулировок задач, без математического описания процессов современный уровень управления и планирования не может быть достигнут.

Задачи управления и планирования обычно сводятся к выбору некоторой системы параметров и системы функций, которые приводят к экстремальным задачам следующего вида.

Метод замены переменной Вычислить интеграл

Требуется найти максимум функции

при условиях:

где f, gi — функции, x1, x2, ..., xп — параметры управления.

Выражение (а) называется функцией цели. Условия (b) и (с) представляют собой ограничения поставленной задачи. Условия (с) справедливы для многих задач, особенно экономических, когда параметры управления (xj) по своему физическом смыслу не могут быть отрицательными. Среди условий задачи могут быть равенства.

Математическая дисциплина, занимающаяся изучением экстремальных (максимальных или минимальных) задач управления, планирования и разработкой методов их решения, получила название математического программирования.

Основное отличие задач математического программирования от условных экстремальных задач, рассмотренных в части 6, заключается в наличии неравенств в системе ограничений. Поэтому методы решения задач на условный экстремум с помощью множителей Лагранжа не могут быть применены.

В зависимости от вида функции цели и ограничений математическое программирование делится на линейное и нелинейное.

Наиболее разработанным разделом математического программирования является линейное программирование.

В задачах линейного программирования возможны случаи, когда параметры управления могут принимать лишь целые дискретные значения. При решении подобных задач используется целочисленное программирование.

В некоторых случаях исходные параметры задачи могут изменяться в некоторых пределах, для их решения применяется параметрическое программирование.

В настоящее время не существует общих и достаточно эффективных методов решения задач нелинейного программирования. Лишь для определенного класса нелинейных задач, система ограничений которых линейна, а целевая функция нелинейна, но обладает свойством выпуклости, разработаны достаточно эффективные методы, получившие название методов выпуклого программирования.

На практике часто приходится сталкиваться с ситуациями, в которых необходимо принимать решения при наличии двух или более сторон, имеющих различные цели. Результаты любого действия каждой из сторон зависят от решений партнеров. В экономике подобные ситуации встречаются довольно часто. Для решения задач с конфликтными ситуациями используют математические методы теории игр.

Динамическое программирование — один из разделов методов оптимизации, в котором процесс принятия решения может быть разбит на отдельные этапы. В основе метода лежит принцип оптимальности, разработанный Р. Беллманом.

Сетевые модели, в основе которых лежит теория графов, позволяют проводить их оптимизацию, а также совокупность расчетных и организационных мероприятий по управлению комплексами работ при создании новых изделий и технологий.

Цель изучения системы массового обслуживания состоит в том, чтобы контролировать их характеристики для проведения оптимизации системы в целом.

Рассмотрение моделей управления запасами преследует цель выбора для предприятий оптимальных расходов на доставку, хранение комплектующих материалов и ресурсов, необходимых для изготовления изделий.

 

ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ

Общая постановка задачи

Определение 1. Линейное программирование — наука о методах исследования и отыскания экстремальных (наибольших и наименьших) значений линейной функции, на неизвестные которой наложены линейные ограничения.

Эта линейная функция называется целевой, а ограничения, которые математически записываются в виде уравнений или неравенств, называются системой ограничений.

Определение 2. Математическое выражение целевой функции и ее ограничений называется математической моделью экономической задачи.

В общем виде математическая модель задачи линейного программирования (ЛП) записывается как

при ограничениях:

где xj — неизвестные; aij, bi, cj — заданные постоянные величины.

Все или некоторые уравнения системы ограничений могут быть записаны в виде неравенств.

Математическая модель в более краткой записи имеет вид

при ограничениях:

Определение 3. Допустимым решением (планом) задачи линейного программирования называется вектор = (x1, x2,..., xп), удовлетворяющий системе ограничений.

Множество допустимых решений образует область допустимых решений (ОДР).

Определение 4. Допустимое решение, при котором целевая функция достигает своего экстремального значения, называется оптимальным решением задачи линейного программирования и обозначается опт.

Базисное допустимое решение (х1, х2,..., xr, 0, …, 0) является опорным решением, где r — ранг системы ограничений.

Виды математических моделей

Математическая модель задачи ЛП может быть канонической и неканонической.

Определение 5. Если все ограничения системы заданы уравнениями и переменные xj неотрицательные, то такая модель задачи называется канонической.

Если хотя бы одно ограничение является неравенством, то модель задачи ЛП является неканонической. Чтобы перейти от неканонической модели к канонической, необходимо в каждое неравенство ввести балансовую переменную xn+i. Если знак неравенства ≤, то балансовая переменная вводится со знаком плюс, если знак неравенства ≥, то — минус. В целевую функцию балансовые переменные не вводятся.

Чтобы составить математическую модель задачи ЛП, необходимо:

— ввести обозначения переменных;

— исходя из цели экономических исследований, составить целевую функцию;

учитывая ограничения в использовании экономических показателей задачи и их количественные закономерности, записать систему ограничений.

Для рассмотрения решения задач линейного программирования дадим некоторые понятия аналитической геометрии в n-мерном пространстве.

 

ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ В n-МЕРНОМ ПРОСТРАНСТВЕ

Основные понятия и определения

Дано n-мерное пространство, точки которого имеют координаты (x1, x2, . . . ,xп).

Определение 1. Множество точек n-мерного пространства, координаты которых удовлетворяют уравнению

где хотя бы одно из чисел а1, a2, ..., an отлично от нуля, называется гиперплоскостью п-мерного пространства.

В векторной форме оно записывается следующим образом:

где = (a1, a2,..., an), = (x1, x2,..., xn).

Даны две гиперплоскости

Определение 2. Множество точек n-мерного пространства, координаты которых одновременно удовлетворяют каждому уравнению системы, называется пересечением гиперплоскостей.

Дано неравенство

Эта зависимость определяет полуплоскость двухмерного пространства, лежащую по одну сторону от прямой

которая называется граничной прямой.

Определение 3. Множество точек n-мерного пространства, координаты которых удовлетворяют неравенству

называется полупространством n-мерного пространства, расположенным по одну сторону от гиперплоскости

Определение 4. Множество точек n-мерного пространства, содержащее вместе с любыми двумя точками A и В и все точки отрезка АВ, называется выпуклым телом (областью, фигурой).

Примеры плоских выпуклых фигур приведены на рис. 19.1.

Примеры невыпуклых фигур приведены на рис. 19.2.

Дадим некоторые определения выпуклой области.

Определение 5. Точка А называется внутренней точкой выпуклой области, если в сколь угодно малой окрестности этой точки содержатся только точки этой области.

Определение 6. Точка В называется граничной точкой выпуклой области, если в сколь угодно малой окрестности этой точки содержатся как точки данной области, так и не принадлежащие ей (рис. 19.3).

Определение 7. Точка С называется угловой точкой выпуклой области, если она является граничной и не лежит внутри отрезка, соединяющего две другие точки этой области (рис. 19.3).

Определение 8. Если область включает все свои граничные точки, то она называется замкнутой.

Выпуклая область может быть ограниченной и неограниченной.

Определение 9. Ограниченной называется область, если существует такое число М > 0, что радиус-вектор , соединяющий начало координат с любой точкой области, по абсолютной величине меньше М, т.е. || ≤ М.

Для этой области все ее точки находятся на конечном расстоянии от начала координат.

Определение 10. Если найдутся точки области, сколь угодно удаленные от начала координат, то область называется неограниченной.

Определение 11. Выпуклая замкнутая ограниченная область, имеющая конечное число угловых точек, называется выпуклым п-мерным многогранником.

Определение 12. Выпуклая замкнутая неограниченная область, имеющая конечное число угловых точек, называется выпуклой п-мерной многогранной областью.

Определение 13. Линейная комбинация S векторов

в которой коэффициенты ti удовлетворяют условиям

называется выпуклой линейной комбинацией.

Определение 14. Пересечением выпуклых областей называется множество точек, являющееся общей частью этих областей.

ТЕОРЕМА 1. Пересечение выпуклых областей есть выпуклая область.

ТЕОРЕМА 2. Множество точек выпуклого п-мерного многогранника совпадает с множеством любых выпуклых линейных комбинаций его угловых точек.

Случайные величины и законы их распределения Виды случайных величин Величину называют случайной, если в результате испытания она примет лишь одно возможное значение, заранее не известное и зависящее от случайных причин.

Система двух случайных величин Двумерная случайная величина До сих пор мы рассматривали дискретные случайные величины, которые называют одномерными: их возможные значения определялись одним числом. Кроме одномерных величин рассматривают также величины, возможные значения которых определяются несколькими числами. Двумерную случайную величину обозначают через (X, Y); каждая из величин X и Y называется компонентой (составляющей). Обе величины Х и Y, рассматриваемые одновременно, образуют систему двух случайных величин. Например, при штамповке стальных пластинок их длина и ширина представляют собой двумерную случайную величину.

Основные распределения непрерывных случайных величин Равномерное распределение Определение. Распределение вероятностей называется равномерным, если на интервале возможных значений случайной величины плотность распределения является постоянной.

Решение систем m линейных неравенств с двумя переменными


Схема исследования графика функции