Лекции по математике
Матрицы
Исследование функции
Вычисление пределов
Примеры решения задач
Двойной интеграл
Тройной интеграл
Криволинейный интеграл
Комплексные числа
Поверхностный интеграл
Интегрирование по частям
Карта сайта

 


Учебник по высшей математике

Комплексные числа.

Понятие о комплексных числах.

  Определение. Комплексным числом z называется выражение , где a и b – действительные числа, i – мнимая единица, которая определяется соотношением:

  При этом число a называется действительной частью числа z (a = Re z), а b- мнимой частью (b = Im z).

 Если a =Re z =0, то число z будет чисто мнимым, если b = Im z = 0, то число z будет действительным.

 Определение. Числа  и называются комплексно – сопряженными.

 Определение. Два комплексных числа  и  называются равными, если соответственно равны их действительные и мнимые части:

  Определение. Комплексное число равно нулю, если соответственно равны нулю действительная и мнимая части.

  Понятие комплексного числа имеет геометрическое истолкование. Множество комплексных чисел является расширением множества действительных чисел за счет включения множества мнимых чисел. Комплексные числа включают в себя все множества чисел, которые изучались ранее. Так натуральные, целые, рациональные, иррациональные, действительные числа являются, вообще говоря, частными случаями комплексных чисел.

 Если любое действительное число может быть геометрически представлено в виде точки на числовой прямой, то комплексное число представляется точкой на плоскости, координатами которой будут соответственно действительная и мнимая части комплексного числа. При этом горизонтальная ось будет являться действительной числовой осью, а вертикальная - мнимой осью.

 


 у

 A(a, b)

 r b

  j

 0 a x

 Таким образом, на оси ОХ располагаются действительные числа, а на оси ОY – чисто мнимые.

 С помощью подобного геометрического представления можно представлять числа в так называемой тригонометрической форме.

 

 

Тригонометрическая форма числа.

  Из геометрических соображений видно, что . Тогда комплексное число можно представить в виде:

 Такая форма записи называется тригонометрической формой записи комплексного числа.

  При этом величина r называется модулем комплексного числа, а угол наклона j - аргументом комплексного числа.

.

  Из геометрических соображений видно:

Очевидно, что комплексно – сопряженные числа имеют одинаковые модули и противоположные аргументы.

 

Действия с комплексными числами.

 Основные действия с комплексными числами вытекают из действий с многочленами.

 1) Сложение и вычитание.

  2) Умножение.

В тригонометрической форме:

,

С случае комплексно – сопряженных чисел:

  3) Деление.

В тригонометрической форме:

 

Возведение в степень.

Из операции умножения комплексных чисел следует, что

В общем случае получим:

,

где n – целое положительное число.

 Это выражение называется формулой Муавра.

(Абрахам де Муавр (1667 – 1754) – английский математик)

 Формулу Муавра можно использовать для нахождения тригонометрических функций двойного, тройного и т.д. углов.

  Пример. Найти формулы sin2j и cos2j.

Рассмотрим некоторое комплексное число

Тогда с одной стороны .

По формуле Муавра:

Приравнивая, получим

Т.к. два комплексных числа равны, если равны их действительные и мнимые части, то

Получили известные формулы двойного угла.

 

Извлечение корня из комплексного числа.

Возводя в степень, получим:

Отсюда:

  Таким образом, корень n – ой степени из комплексного числа имеет n различных значений.

 

Показательная форма комплексного числа.

Рассмотрим показательную функцию

Можно показать, что функция w может быть записана в виде:

 Данное равенство называется уравнением Эйлера. Вывод этого уравнения будет рассмотрен позднее. (См. ).

 Для комплексных чисел будут справедливы следующие свойства:

1)

2)

3)  где m – целое число.

  Если в уравнении Эйлера показатель степени принять за чисто мнимое число (х=0), то получаем:

  Для комплексно – сопряженного числа получаем:

  Из этих двух уравнений получаем:

  Этими формулами пользуются для нахождения значений степеней тригонометрических функций через функции кратных углов.

 Если представить комплексное число в тригонометрической форме:

и воспользуемся формулой Эйлера:

  Полученное равенство и есть показательная форма комплексного числа.

Числовая последовательность. Если каждому натуральному числу n поставлено в соответствие число хn, то говорят, что задана последовательность x1, х2, …, хn = {xn}

Число е. Рассмотрим последовательность {xn} = . Если последовательность {xn} монотонная и ограниченная, то она имеет конечный предел.

Бесконечно малые функции. Определение. Функция f(x) называется бесконечно малой при х®а, где а может быть числом или одной из величин ¥, +¥ или -¥, если . Бесконечно малой функция может быть только если указать к какому числу стремится аргумент х. При различных значениях а функция может быть бесконечно малой или нет.

Производная функции, ее геометрический и физический смысл.  Производной функции f(x) в точке х = х0 называется предел отношения приращения функции в этой точке к приращению аргумента, если он существует.


На главную страницу сайта