На главную v-garant.ru
Алгебра и аналитическая геометрия Метод Гаусса Комплексные числа Предел функции одной переменной Схема исследования графика функции Исследование функции на экстремум Локальный экстремум функции Функциональные ряды

Учебник по высшей математике

Комплексные числа.

Понятие о комплексных числах.

  Определение. Комплексным числом z называется выражение , где a и b – действительные числа, i – мнимая единица, которая определяется соотношением:

  При этом число a называется действительной частью числа z (a = Re z), а b- мнимой частью (b = Im z).

 Если a =Re z =0, то число z будет чисто мнимым, если b = Im z = 0, то число z будет действительным.

 Определение. Числа  и называются комплексно – сопряженными.

 Определение. Два комплексных числа  и  называются равными, если соответственно равны их действительные и мнимые части:

  Определение. Комплексное число равно нулю, если соответственно равны нулю действительная и мнимая части.

  Понятие комплексного числа имеет геометрическое истолкование. Множество комплексных чисел является расширением множества действительных чисел за счет включения множества мнимых чисел. Комплексные числа включают в себя все множества чисел, которые изучались ранее. Так натуральные, целые, рациональные, иррациональные, действительные числа являются, вообще говоря, частными случаями комплексных чисел.

 Если любое действительное число может быть геометрически представлено в виде точки на числовой прямой, то комплексное число представляется точкой на плоскости, координатами которой будут соответственно действительная и мнимая части комплексного числа. При этом горизонтальная ось будет являться действительной числовой осью, а вертикальная - мнимой осью.

 


 у

 A(a, b)

 r b

  j

 0 a x

 Таким образом, на оси ОХ располагаются действительные числа, а на оси ОY – чисто мнимые.

 С помощью подобного геометрического представления можно представлять числа в так называемой тригонометрической форме.

 

 

Тригонометрическая форма числа.

  Из геометрических соображений видно, что . Тогда комплексное число можно представить в виде:

 Такая форма записи называется тригонометрической формой записи комплексного числа.

  При этом величина r называется модулем комплексного числа, а угол наклона j - аргументом комплексного числа.

.

  Из геометрических соображений видно:

Очевидно, что комплексно – сопряженные числа имеют одинаковые модули и противоположные аргументы.

 

Действия с комплексными числами.

 Основные действия с комплексными числами вытекают из действий с многочленами.

 1) Сложение и вычитание.

  2) Умножение.

В тригонометрической форме:

,

С случае комплексно – сопряженных чисел:

  3) Деление.

В тригонометрической форме:

 

Возведение в степень.

Из операции умножения комплексных чисел следует, что

В общем случае получим:

,

где n – целое положительное число.

 Это выражение называется формулой Муавра.

(Абрахам де Муавр (1667 – 1754) – английский математик)

 Формулу Муавра можно использовать для нахождения тригонометрических функций двойного, тройного и т.д. углов.

  Пример. Найти формулы sin2j и cos2j.

Рассмотрим некоторое комплексное число

Тогда с одной стороны .

По формуле Муавра:

Приравнивая, получим

Т.к. два комплексных числа равны, если равны их действительные и мнимые части, то

Получили известные формулы двойного угла.

 

Извлечение корня из комплексного числа.

Возводя в степень, получим:

Отсюда:

  Таким образом, корень n – ой степени из комплексного числа имеет n различных значений.

 

Показательная форма комплексного числа.

Рассмотрим показательную функцию

Можно показать, что функция w может быть записана в виде:

 Данное равенство называется уравнением Эйлера. Вывод этого уравнения будет рассмотрен позднее. (См. ).

 Для комплексных чисел будут справедливы следующие свойства:

1)

2)

3)  где m – целое число.

  Если в уравнении Эйлера показатель степени принять за чисто мнимое число (х=0), то получаем:

  Для комплексно – сопряженного числа получаем:

  Из этих двух уравнений получаем:

  Этими формулами пользуются для нахождения значений степеней тригонометрических функций через функции кратных углов.

 Если представить комплексное число в тригонометрической форме:

и воспользуемся формулой Эйлера:

  Полученное равенство и есть показательная форма комплексного числа.

Числовая последовательность. Если каждому натуральному числу n поставлено в соответствие число хn, то говорят, что задана последовательность x1, х2, …, хn = {xn}

Число е. Рассмотрим последовательность {xn} = . Если последовательность {xn} монотонная и ограниченная, то она имеет конечный предел.

Бесконечно малые функции. Определение. Функция f(x) называется бесконечно малой при х®а, где а может быть числом или одной из величин ¥, +¥ или -¥, если . Бесконечно малой функция может быть только если указать к какому числу стремится аргумент х. При различных значениях а функция может быть бесконечно малой или нет.

Производная функции, ее геометрический и физический смысл.  Производной функции f(x) в точке х = х0 называется предел отношения приращения функции в этой точке к приращению аргумента, если он существует.


Математический анализ