На главную v-garant.ru
Функции в области экономики Модель Леонтьева Управление и планирование Транспортные задачи Экономический анализ Математический анализ Вычисление длины дуги кривой Криволинейный интеграл 2-го рода Матрицы и определители Многочлены

Учебник по высшей математике

Бесконечно малые и бесконечно большие функции

Определение 1. Функция f(x) называется бесконечно малой функцией (или просто бесконечно малой) в точке x = а, если предел ее в этой точке равен нулю: f(x) = 0.

Аналогично определяются бесконечно малые при х  , х ±, х  а+ и х  а—.

ТЕОРЕМА 6. Алгебраическая сумма и произведение конечного числа бесконечно малых функций в точке а, как и произведение бесконечно малой на ограниченную функцию, являются бесконечно малыми функциями в точке а.

Определение 2. Функция f(x) называется бесконечно большой функцией в точке а (или просто бесконечно большой), если для любой сходящейся к а последовательности {хn} значений аргумента соответствующая последовательность {f(xn)} значений функции является бесконечно большой. Дифференцирование функций.

В этом случае пишут f(x) =  ( f(x) = + или f(x) = -) и говорят, что функция имеет в точке а бесконечный предел (+ или -). По аналогии с конечными односторонними пределами определены и односторонние бесконечные пределы: 

Аналогично определяются бесконечно большие функции при x, x+, x-.

Между бесконечно малыми и бесконечно большими функциями существует та же связь, что и между соответствующими последовательностями, т.е. если α(х) — бесконечно малая функция при х  а, то f(x) = 1/α(х) — бесконечно большая функция, и наоборот.

3.6. Понятие непрерывности функции

Понятие непрерывности функции является фундаментальным в математическом анализе. Сформулируем его на языке последовательности. Пусть функция f(x) определена в некоторой окрестности точки а.

Определение 1. Функция f(x) называется непрерывной в точке а, если предел этой функции и ее значение в этой точке равны, т.е.

Так как x = а, то это равенство можно переписать в следующей форме:

Определение 2. Функция f(x) называется непрерывной справа (слева) в точке а, если правый (левый) предел этой функции в точке а равен значению функции в этой точке.

Символическая запись непрерывности функции справа (слева):

Если функция f(x) непрерывна в точке а слева и справа, то она непрерывна в этой точке. 

Точки, в которых функция не является непрерывной, называются точками разрыва функции.

Рассмотрим пример точек, в которых функция не является непрерывной.

Пример 1. Функция f(x) = sign x (п. 3.1). Как было показано ранее, в точке х = 0 существуют левый и правый пределы этой функции, равные соответственно —1 и +1. Сама же точка х = 0 является точкой разрыва функции, поскольку пределы слева и справа не равны значению f(0) = 0.

Действия над непрерывными в точке функциями определяет следующая фундаментальная теорема.

ТЕОРЕМА 7. Пусть функции f(x) и g(х) непрерывны в точке а. Тогда функции f(x) ± g(x), f(x)g(x) и f(x)/g(x) также непрерывны в точке а (частное при условии g(a) ≠ 0).

3.7. Непрерывность элементарных функций

Непрерывность элементарных функций в точке

Постоянная функция f(x) = С является непрерывной в любой точке числовой прямой. Действительно,  f(x) = С = f(а), что соответствует определению непрерывности функции в точке.

Функция f(x) = х непрерывна в каждой точке а числовой прямой, так как предел функции в точке а равен ее значению в этой точке:  f(x) = а = f(a).

Из сказанного выше и теоремы 3.7 следует, что в любой точке числовой прямой функции x2 = x ∙ x, x3 = x2 ∙ х,..., xn = xn-1 ∙ x (n — натуральное число) непрерывны.

Алгебраический многочлен

также является непрерывной функцией в любой точке числовой прямой в силу теоремы 3.7, поскольку представляет собой сумму произведений непрерывных функций.

Дробно-рациональная функция

где Р(x) и Q(x) — алгебраические многочлены, в силу теоремы 3.7 непрерывна во всех точках числовой прямой за исключением корней знаменателя.

Тригонометрические функции sin x, и cos x непрерывны в любой точке x числовой прямой.

Непрерывность функций tg x = sin x / cos x и sec x = 1/ cos x соблюдается во всех точках, x ≠ π / 2 + nπ; аналогично непрерывность функций ctg x = cos x / sin x и sec x = 1 / sin x обеспечена во всех точках x ≠ пπ (n = 0, ±1, ±2,...).

Рассмотренные выше функции непрерывны в каждой точке, в окрестности которой они определены. В силу теоремы 3.7 функции, получаемые из них при использовании конечного числа арифметических операций, являются также непрерывными.

Непрерывность функции на интервале и отрезке

Говорят, что функция f(x) непрерывна на интервале (а, b), если она непрерывна в каждой точке этого интервала. Функция f(x) непрерывна на отрезке [а, b], если она непрерывна на интервале (а, b) и непрерывна в точке a справа, а в точке b слева:

Классификация точек разрыва функции

Точки разрыва, в которых функция не является непрерывной, классифицируются следующим образом.

1. Устранимый разрыв. Точка а называется точкой устранимого разрыва функции f(x), если предел функции в этой точке существует, но в точке а функция f(x) либо не определена, либо ее значение f(а) не равно пределу в этой точке.

Пример 1. Функция f(x) =  в точке х = 0, как известно, имеет предел, равный единице (первый замечательный предел). Однако в самой точке х = 0 эта функция не определена, т.е. здесь разрыв первого вида. Этот разрыв можно устранить (потому он и называется устранимым), если доопределить функцию в этой точке значением предела в ней, т.е. ввести новую функцию

Функция f1(x) является непрерывной на всей числовой прямой.

2. Разрыв первого рода. Точка а называется точкой разрыва первого рода функции f(x), если в этой точке функция имеет конечные, но не равные друг другу левый и правый пределы:

.

Пример 2. Рассмотрим функцию

для нее точка х = 0 является точкой разрыва 1-го рода. 

3. Разрыв второго рода. Точка а называется точкой разрыва второго рода функции f(x), если в этой точке функция f(x) не имеет по крайней мере одного из односторонних пределов или хотя бы один из односторонних пределов бесконечен.

Пример 3. Для функции f(x) = 1/x точка х = 0 является точкой разрыва 2-го рода, поскольку  .

Пример 4. Для функции f(x) = sin (l/x) точка х = 0 является точкой разрыва 2-го рода, так как ни левого, ни правого предела функции в этой точке не существует.

Пример 5. Рассмотрим функцию f(x) = е1/x = ехр  (рис. 3.8). Точка х = 0 является точкой разрыва 2-го рода для этой функции, так как предел слева равен нулю, а предел справа бесконечен:

Рис. 3.8

3.8. Понятие сложной функции

Определение. Если на некотором промежутке Х определена функция z = φ(x) с множеством значений Z и на множестве Z определена функция у = f(z), то функция у = f[φ(x)] называется сложной функцией от x (или суперпозицией функций), а переменная z — промежуточной переменной сложной функции.

Приведем примеры сложных функций.

Пример 1. у = cos —сложная функция, определенная на полубесконечном интервале (—,1], так как у = f(z) = cos z, z = φ(x) = .

Пример 2. у = — сложная функция, определенная на всей числовой прямой, поскольку у = f(z) = еz , z = φ(x) = —х2.

Пример 3. у =  — сложная функция, определенная на полубесконечных интервалах (-,0) и (0, + ), так как y = f(z) = z3/2, z = φ(x) = (1 + x) / x.

ТЕОРЕМА 8. Пусть функция z = φ(x) непрерывна в точке x0, а функция у = f(z) непрерывна в точке z0 = φ(x0). Тогда сложная функция у = f[φ{x)] непрерывна в точке x0 = 0.

Пример 4. Функция y = tg (x2 + 2x) непрерывна в точке x = 0, так как функция z = х2 + х непрерывна в точке х = 0, а функция у = tg z непрерывна в точке z = 0. 

3.9. Элементы аналитической геометрии на плоскости

Уравнение линии на плоскости

Пусть на плоскости задана система координат. Рассмотрим уравнение вида

Говорят, что уравнение (3.9) определяет (задает) линию L в системе координат Оху. Вообще говоря, линии на координатной плоскости могут быть самыми различными.

Линии первого порядка

К линиям первого порядка относятся те линии, для которых задающее их уравнение (3.9) содержит переменные x и у только в первой степени. Иными словами, такие линии описываются уравнениями вида

где А, В и С — постоянные числа. Из этого уравнения можно выразить переменную у как функцию от аргумента х при В ≠ 0:

Уравнение (3.11) называют уравнением прямой с угловым коэффициентом k = tg φ, где φ — угол наклона прямой к положительному направлению оси Ох (рис. 3.9). Если k = 0, то прямая параллельна оси Ох и отстоит от нее на b масштабных единиц.

Рис. 3.9

Определим самые необходимые элементы знания о прямых на плоскости.

1. Кроме "классического" уравнения прямой (3.11) следует знать еще две его разновидности. Первая из них — это уравнение прямой с заданным угловым коэффициентом k, проходящей через заданную точку М0(x0, у0):

Другой вид — это уравнение прямой, проходящей через две заданные точки на плоскости M1(x1, y1) и М2(х2, у2):

2. Угол между прямыми. Рассмотрим две прямые, заданные уравнениями у = k1x + b1 и у = k2x + b2, где k1 = tg φ1 и k2 = tg φ2 (рис. 3.10). Пусть φ — угол между этими прямыми. Тогда φ = φ2 — φ1 и мы получаем tg φ = tg (φ2 — φ1) = или, что то же самое,

Рис. 3.10

Формула (3.12) определяет один из углов между пересекающимися прямыми; второй угол равен π - φ.

Из равенства (3.12) вытекают условия параллельности и перпендикулярности прямых. В самом деле, если прямые параллельны, то

Если прямые перпендикулярны, то α2 = π/2 + α1, откуда tg α2 = -ctg α1 = -1 / tg α1, или окончательно

Пример 1. Найти угол между прямыми, заданными уравнениями у = 2x - 5 и у = -3x + 4.

Решение. Подставляя в формулу (3.12) значения k1 = 2 и k2 = -3, имеем

откуда получаем, что один из углов равен φ = π / 4.

3. Расстояние от точки до прямой. Пусть прямая задана уравнением общего вида (3.10). Тогда расстояние d от произвольной точки М0(x0, y0) до прямой (рис. 3.11) дается формулой 

Рис. 3.11


Схема исследования графика функции