На главную v-garant.ru
Алгебра и аналитическая геометрия Метод Гаусса Комплексные числа Предел функции одной переменной Схема исследования графика функции Исследование функции на экстремум Локальный экстремум функции Функциональные ряды

Учебник по высшей математике

Возрастание и убывание функции, точки экстремума.

. Видно, что у¢< 0 при любом х ¹ 0, следовательно, функция убывает на всей области определения и не имеет экстремумов. В точке х = 0 первая производная функции равна нулю, однако в этой точке убывание не сменяется на возрастание, следовательно, в точке х = 0 функция скорее всего имеет перегиб. Для нахождения точек перегиба, находим вторую производную функции.

  y¢¢ = 0 при х =0 и y¢¢ = ¥ при х = 1.

Точки (0,1) и (1,0) являются точками перегиба, т.к. y¢¢(1-h) < 0; y¢¢(1+h) >0; y¢¢(-h) > 0; y¢¢(h) < 0 для любого h > 0.

6. Построим график функции.

 

Пример: Исследовать функцию  и построить ее график.

1. Областью определения функции являются все значения х, кроме х = 0.

2. Функция является функцией общего вида в смысле четности и нечетности.

3. Точки пересечения с координатными осями: c осью Ох: y = 0; x =

  с осью Оу: x = 0; y – не существует.

4. Точка х = 0 является точкой разрыва , следовательно, прямая х = 0 является вертикальной асимптотой.

Наклонные асимптоты ищем в виде: y = kx + b.

Наклонная асимптота у = х.

 

Находим точки экстремума функции.

;  y¢ = 0 при х = 2, у¢ = ¥ при х = 0.

y¢ > 0 при х Î (-¥, 0) – функция возрастает, 

y¢ < 0 при х Î (0, 2) – функция убывает,

у¢ > 0 при х Î (2, ¥) – функция возрастает.

Таким образом, точка (2, 3) является точкой минимума.

Для определения характера выпуклости/вогнутости функции находим вторую производную.

  > 0 при любом х ¹ 0, следовательно, функция вогнутая на всей области определения.

6. Построим график функции.

 

Пример: Исследовать функцию  и построить ее график.

Областью определения данной функции является промежуток х Î (-¥, ¥).

В смысле четности и нечетности функция является функцией общего вида.

Точки пересечения с осями координат: с осью Оу: x = 0, y = 0;

 с осью Ох: y = 0, x = 0, x = 1.

Асимптоты кривой.

Вертикальных асимптот нет.

Попробуем найти наклонные асимптоты в виде y = kx + b.

 - наклонных асимптот не существует.

Находим точки экстремума.

Для нахождения критических точек следует решить уравнение 4х3 – 9х2 +6х –1 = 0.

Для этого разложим данный многочлен третьей степени на множители.

Подбором можно определить, что одним из корней этого уравнения является число

х = 1. Тогда:

 4x3 – 9x2 + 6x – 1 x - 1

 ` 4x3 – 4x2 4x2 – 5x + 1

 - 5x2 + 6x

  ` - 5x2 + 5x

 x - 1

 `  x - 1

 0

Тогда можно записать (х – 1)(4х2 – 5х + 1) = 0. Окончательно получаем две критические точки: x = 1 и x = ¼.

Примечание. Операции деления многочленов можно было избежать, если при нахождении производной воспользоваться формулой производной произведения:

Найдем вторую производную функции: 12x2 – 18x + 6. Приравнивая к нулю, находим:

x = 1, x = ½.

Систематизируем полученную информацию в таблице:

 (-¥ ; ¼)

1/4

 (¼; ½) 

1/2

( ½ ; 1 )

 1

 (1 ; ¥)

f¢¢(x) 

 +

 +

 +

 0

 -

 0

 +

f¢(x)

 -

 0

 +

 +

 +

 0

 +

f(x)

убывает

вып. вниз

min

возрастает

вып. вниз

перегиб

возрастает

вып. вверх

перегиб

возрастает

вып. вниз

Построим график функции.

 

 

Первообразная и неопределённый интеграл.

Первообразная функция.

 Определение: Функция F(x) называется первообразной функцией функции f(x) на отрезке [a, b], если в любой точке этого отрезка верно равенство:

F¢(x) = f(x).

 Надо отметить, что первообразных для одной и той же функции может быть бесконечно много. Они будут отличаться друг от друга на некоторое постоянное число.

F1(x) = F2(x) + C.

Неопределенный интеграл.

 Определение: Неопределенным интегралом функции f(x) называется совокупность первообразных функций, которые определены соотношением:

F(x) + C.

Записывают:

 Условием существования неопределенного интеграла на некотором отрезке является непрерывность функции на этом отрезке.

 Свойства:

1.

2.

3.

4.   где u, v, w – некоторые функции от х.

Пример:

Нахождение значения неопределенного интеграла связано главным образом с нахождением первообразной функции. Для некоторых функций это достаточно сложная задача. Ниже будут рассмотрены способы нахождения неопределенных интегралов для основных классов функций – рациональных, иррациональных, тригонометрических, показательных и др.

 

Таблица основных интегралов.

  Для удобства значения неопределенных интегралов большинства элементарных функций собраны в специальные таблицы интегралов, которые бывают иногда весьма объемными. В них включены различные наиболее часто встречающиеся комбинации функций. Но большинство представленных в этих таблицах формул являются следствиями друг друга, поэтому ниже приведем таблицу основных интегралов, с помощью которой можно получить значения неопределенных интегралов различных функций.

 Интеграл

 Значение

 Интеграл

 Значение

1

 -ln½cosx½+C

9

 ex + C

2

 ln½sinx½+ C

10

 sinx + C

3

 

11

 -cosx + C

4

 

12

 tgx + C

5

13

 -ctgx + C

6

ln

14

 arcsin + C

7

15

8

 

16

 


Математический анализ