На главную v-garant.ru
Функции в области экономики Модель Леонтьева Управление и планирование Транспортные задачи Экономический анализ Математический анализ Вычисление длины дуги кривой Криволинейный интеграл 2-го рода Матрицы и определители Многочлены

Учебник по высшей математике

Линии второго порядка

Рассмотрим здесь три наиболее используемыx вида линий: эллипс, гиперболу и параболу.

1. Эллипс. Линия, для всех точек которой сумма расстояний от двух данных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная и большая, чем расстояние между фокусами, называется эллипсом.

Согласно определению эллипса, сумма расстояний от произвольной точки М на этой линии до его фокусов F1 и F2 постоянна (рис. 3.12): 

Рис. 3.12 Понятие о дифференциале функции. Пусть функция y = f(x) имеет производную в точке х:

Отсюда можно вывести уравнение эллипса в его основной (канонической) форме:

где а и b — полуоси эллипса, b2 = а2 — с2, точка O (0,0) — центр эллипса, с — половина расстояния между фокусами эллипса. Из уравнения (3.13) следует, что оси эллипса являются его осями симметрии, а точка их пересечения — центром его симметрии.

В частном случае, когда a = b, фокусы эллипса сливаются, т.е. с = 0, и мы имеем окружность радиуса а с центром в начале координат. Характеристикой эллипса, показывающей меру его вытянутости, является эксцентриситет — величина, определяемая отношением

2. Гипербола. Гиперболой называется линия, для всех точек которой модуль разности расстояний от двух данных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная и меньшая, чем расстояние между фокусами.

На рис. 3.13 показаны все основные элементы гиперболы. Разность расстояний от произвольной точки М на гиперболе до фокусов F1 и F2, согласно определению, есть величина постоянная:

Из этой основной предпосылки выводится каноническое уравнение гиперболы, которое имеет вид

где b2 = с2 — а2.

Нетрудно видеть, что прямые у = ±х являются наклонными асимптотами гиперболы. Линия (3.14) имеет две оси симметрии, точка пересечения которых является центром симметрии гиперболы.

3. Парабола. Параболой называется линия, все точки которой находятся на одинаковом расстоянии от данной точки, называемой фокусом, и от данной прямой, называемой директрисой и не проходящей через фокус.

Согласно определению, точка М(х, у) лежит на параболе, если r1 = r2. Отсюда и выводится каноническое уравнение параболы, которое имеет вид

График параболы (3.15) показан на рис. 3.14. Нетрудно видеть, что перемена осей координат приводит к более привычному уравнению параболы вида у = Ах2, где А — постоянное число.

Рис. 3.14

УПРАЖНЕНИЯ

Найти области определения функций, заданных следующими формулами.

3.1. у = 3x - 2. 3.2. у = х2 – 5x + 6. 3.3. . 3.4. . 3.5. . 3.6. . 3.7. . 3.8. . 3.9. . 3.10. . 3.11. . 3.12. . 3.13. . 3.14. .

3.15. f(x) = x2 + x – 2, найти f(0), f(1), f(-3). 3.16. f(x) = arccos (lg x), найти f(1/10), f(1), f(10). 3.17. .

3.18. Спрос и предложение на некоторый товар на рынке описываются линейными зависимостями вида

1) Определить равновесную цену; 2) установить графическим способом, является ли модель паутинного рынка "скручивающейся". Варианты задания параметров зависимостей спроса и предложения:

а) а = 19, b = 2, с = 3, d = 2; б) а = 15, b = 3, с = 1, d = 4; в) а = 11, b = 3, с = 3, d = 1; г) а = 23, b = 3, с = 5, d = 6.

Найти пределы.

3.19. . 3.20. . 3.21. . 3.22. . 3.23. . 3.24. . 3.25. . 3.26. . 3.27. . 3.28. . 3.29. . 3.30. . 3.31. . 3.32. . 3.33. .

Найти точки разрыва функций и определить типы разрывов.

3.34. . 3.35. . 3.36. . 3.37. . 3.38. . 3.39. . 3.40. .


Схема исследования графика функции