На главную v-garant.ru
Алгебра и аналитическая геометрия Метод Гаусса Комплексные числа Предел функции одной переменной Схема исследования графика функции Исследование функции на экстремум Локальный экстремум функции Функциональные ряды

Учебник по высшей математике

Справочный материал по теме «Аналитическая геометрия на плоскости»

1. Декартова система координат (ДСК) на плоскости

 Расстояние |АВ| между двумя точками А(хА; уА) и В(хВ; уВ) (рис.1): 

|AB| = . (1)

Деление отрезка в заданном отношении. Если точка С делит отрезок АВ в отношении λ, начиная от точки A (рис. 1), т.е. , то координаты точки C:

 . (2)

 Если точка С делит отрезок АВ пополам, т.е. =1, то координаты точки C:

 . (3)

В ДСК уравнение линии имеет вид F(х, у) = 0 или у = f(х).

2. Полярная система координат (ПСК)

 

  Положение точки М в ПСК (рис.2) определяют две координаты: М,  где r – полярный радиус

(r = |0M|), φ = – полярный угол.

 ОДЗ для полярных координат:  или

 Если совместить ПСК и ДСК так, чтобы полюс совпал с началом координат ДСК, а ось ОР совпадала с положительной полуосью ОХ, то получим формулы связи между декартовыми координатами точки M(x; y) и ее полярными координатами  М:

  и  (4)

Чтобы найти полярный угол φ по известному значению tgφ, нужно

учесть, в какой четверти координатной плоскости находится точка М:

  (5)

В ПСК уравнение линии имеет вид F(r, φ) = 0 или r = f(φ).

3. Прямая линия на плоскости

 Общее уравнение прямой на плоскости: 

Ах + В у + С = 0.

Уравнение прямой с угловым коэффициентом (рис. 3):

  у = k x + b. (6)

Уравнение вертикальной прямой (рис. 3):

 х = а.  (7)

Уравнения прямых, проходящих через одну заданную точку М(х0; у0­) (уравнение пучка прямых):

 у – y0 = k(x – x0). (8)

Угловой коэффициент прямой, проходящей через две заданные точки А(х1; у1) и В(х2; у2): 

 . (9)

Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки:

 . (10)

 Пусть на плоскости заданы две прямые, которым соответствуют уравнения с угловыми коэффициентами:  у = k1 x + b1 и у = k2 x + b2.

Условие параллельности прямых на плоскости: 

 k1 = k2.. (11) 

Условие перпендикулярности прямых: 

 .  (12)

 Если одна из двух перпендикулярных прямых вертикальная, т.е. k2 не существует, то k1 = 0 и обратно: если k2 = 0, то k1 не существует. 

 Тангенс острого угла между пересекающимися прямыми можно найти, используя формулу:

  , (13)

откуда . Если одна из прямых вертикальная, т.е. k2 не существует, то .

4. Кривые второго порядка

Каноническое уравнение эллипса: 

 .  (14)

Термины и обозначения основных элементов эллипса (рис. 4):

O – центр эллипса;

с – фокусное расстояние;

F1(–c; 0), F2(c; 0) – фокусы эллипса;

|А1А2| = 2a – длина большой оси;

а – большая полуось эллипса;

|B1B2| = 2b – длина малой оси;

b – малая полуось эллипса.

Для эллипса справедливо: c2 = a2 – b2.

Число  называется эксцентриситетом эллипса .

Если a < b, то эллипс имеет вытянутую по вертикали форму (рис. 5).

В этом случае фокусы эллипса F1(0; –c), F2(0; c), эксцентриситет   и справедливо c2 = b2 – a2.

Если  a = b, то уравнение эллипса становится уравнением окружности:

x2 + y2 = R2 ,

где R= a= b.

 В этом случае фокусы эллипса совпадают с центром окружности, фокусное расстояние с = 0, эксцентриситет окружности .

Каноническое уравнение гиперболы: 

 . (15) 

Термины и обозначения основных элементов гиперболы (рис. 6):

O – центр гиперболы;

с – фокусное расстояние;

F1(–c; 0), F2(c; 0) – фокусы гиперболы;

|А1А2| = 2a – длина вещественной оси;

а – вещественная полуось гиперболы;

|B1B2| = 2b – длина мнимой оси;

b – мнимая полуось гиперболы.

Уравнения асимптот гиперболы:

 .

 

Для гиперболы справедливо: с2 = a2 + b2.

 Число  называется эксцентриситетом гиперболы .

Канонические уравнения параболы.

Существуют 4 вида канонических уравнений параболы:

х2 = 2ру. (16)

Фокус F(0; ), уравнение директрисы: у = –.

 Рис. 7.

х2 = –2ру. (17)

Фокус F(0; –), уравнение директрисы: у = .

 Рис. 8.

у2 = 2рх. (18)

Фокус F(; 0), уравнение директрисы: х = –.

 Рис. 9.

у2 =–2рх . (19)

 Фокус F(–; 0), уравнение директрисы: х =.

 Рис. 10.

Термины и обозначения основных элементов параболы: O – вершина параболы, F – фокус параболы, p – параметр параболы (расстояние от фокуса F до директрисы l).

Для приведения уравнения кривой со смещенным центром к каноническому виду может быть использован параллельный перенос системы координат ХОY в точку O1(α; β). При параллельном переносе координаты любой точки М (х; у) в новой системе координат X1O1Y1 будут (х1; у1), где 

  (20)

Примеры таких преобразований приведены в таблице 2.

 Таблица 2.

В системе координат ХОY

В системе координат X1O1Y1

 Окружность с центром в точке O1(α;β) и с радиусом R:

 

 Каноническое уравнение окружности:

 Эллипс с центром в точке O1(α;β):

 

 Каноническое уравнение эллипса:

Гипербола с центром в точке O1(α;β): 

Каноническое уравнение гиперболы: .

Параболы с вершиной в точке O1(α;β)

или .

Канонические уравнения парабол:

  или


Математический анализ