На главную v-garant.ru
Алгебра и аналитическая геометрия Метод Гаусса Комплексные числа Предел функции одной переменной Схема исследования графика функции Исследование функции на экстремум Локальный экстремум функции Функциональные ряды

Учебник по высшей математике

Предел функции одой переменной

Определение предела

Окрестностью точки x0 называется любой интервал с центром в точке x0. Пусть функция f(x) определена в некоторой окрестности точки x0 кроме самой точки x0.

Число А называется пределом функции f(x) в точке x0, если для любого сколь угодно малого числа e>0 найдется такое число d>0 (вообще говоря, зависящее от e), что для всех x таких, что <d, xx0, выполняется неравенство <e.

Обозначается это так:  или f(x)®A (при х®х0).

Операции над пределами

Пусть функции f(x) и g(x) определены в некоторой окрестности точки x0 и, кроме того,   . Тогда:

1.   ( )

2. 

3. 

4.   (В¹0).

Предел функции на бесконечности

Число А называется пределом функции f(x) при x®+¥, если при любом значении e>0 найдется такое число М>0, что для всех значений х>М выполняется неравенство <e.

Обозначение:

Аналогично определяется предел функции f(x) при х®- ¥. Обозначение:

Односторонние пределы

Число А называется пределом функции f(x) слева в точке х0, если для любого числа e>0 существует число d>0 такое, что при хÎ(х0-d;х0), выполняется неравенство <e. Предел слева записывается так:  или коротко: f(x0-0)=A.

Аналогично определяется предел функции справа, обозначаемый  или f(x0+0). Пределы функции слева и справа называются односторонними пределами.

Замечательные пределы

Первый замечательный предел

 

Второй замечательный предел

 

Часто используются следующие следствия из обоих замечательных пределов:

  aÎR;

 , 

Бесконечно малые функции

Функция a(x) называется бесконечно малой при х®х0, если 

Если функция f(x) имеет предел, равный А, то ее можно представить как сумму числа А и бесконечно малой функции a(х), т.е. если то

f(x) = A+a(x).

Пусть a(х) и b(х) -бесконечно малые функции при х®х0. Тогда, если  то a(х) и b(х) называются эквивалентными бесконечно малыми, что обозначается так: a(х) ~ b(х),  х®х0.

При решении многих задач используются следующие эквивалентности, верные при х®0:

Sinx ~ x, 1-Cosx ~ , tgx ~ x, arcsinx ~ x, ln(1+x) ~ x,  ~ x.

Бесконечно большие функции

Функция f(x) называется бесконечно большой при х®х0, если для любого числа М>0 существует число d = d(М) >0, что для всех х, удовлетворяющих неравенству 0<<d, выполняется неравенство >М. Записывают  или f(x) ®¥  при х®х0.

ТЕМА 5. Непрерывность функции одной переменной

Непрерывность функции в точке

Функция f(x) называется непрерывной в точке х0, если она определена в некоторой окрестности этой точки и

 

Если обозначить х-х0=Dх (приращение аргумента), f(x)-f(x0)=Dy  (приращение функции, соответствующее приращению аргумента Dх), то это определение можно записать в эквивалентной форме.

Функция f(x) называется непрерывной в точке х0, если она определена в некоторой окрестности этой точки и 

 

Таким образом, если функция f(x) непрерывна в точке х0, то бесконечно малому приращению аргумента в этой точке соответствует бесконечно малое приращение функции.

Непрерывность функции на промежутке

Функция f(x) называется непрерывной на данном промежутке (интервале, полуинтервале, отрезке), если она непрерывна в каждой точке этого промежутка.

Односторонняя непрерывность

Функция f(x) называется непрерывной слева в точке х0, если она определена на некотором полуинтервале (а;х0] и

 

Функция f(x) называется непрерывной справа в точке х0, если она определена на некотором полуинтервале [х0;в) и

 

Функция f(x) непрерывна в точке х0 тогда и только тогда, когда она непрерывна слева и справа в этой точке, т.е. когда

 

Точки разрыва функции

Точка х0 называется точкой разрыва функции f(x), если f(x) не является непрерывной в этой точке, причем:

а) если оба односторонних предела  и  конечны, но не равны между собой, то х0- точка разрыва первого рода;

б) если оба односторонних предела  и  конечны, равны между собой, но не равны f(x0), то х0 - точка устранимого разрыва первого рода;

в) если хотя бы один из односторонних пределов  или  бесконечен, или не существует то х0 - точка разрыва второго рода.

Свойства функций, непрерывных в точке

Если f(x) и g(x) непрерывны в точке х0, то функции f(x)±g(x); f(x).g(x); и f(x)/g(x) (если g(x)¹0) также непрерывны в точке х0.

Если функция u(x) непрерывна в точке х0, а функция f(u) непрерывна в точке u0=u(x0), то сложная функция f(u(x)) непрерывна в точке х0.

Все элементарные функции непрерывны в каждой точке своих областей определения.

Свойства функций, непрерывных на отрезке

Теорема (Вейерштрасса). Если функция непрерывна на отрезке, то она достигает на этом отрезке своего наибольшего и наименьшего значений.

Следствие. Если функция непрерывна на отрезке, то она ограничена на этом отрезке.

Теорема (Больцано - Коши). Если функция y=f(x) непрерывна на отрезке [а;в] и принимает на его концах неравные значения f(a) = A и f(в) = В, то на этом отрезке она принимает и все промежуточные значения между А и В.

Следствие. Если функция y =f(x) непрерывна на отрезке [а;в] и на его концах принимает значения разных знаков, то внутри отрезка [а;в] найдется хотя бы одна точка c, в которой данная функция f(x) обращается в ноль: f(c)= 0.

ТЕМА 6. Производная и дифференциал функции одной переменной

Определение производной

Производной функции y=f(x) называется конечный предел приращения функции к приращению аргумента при стремлении последнего к нулю (при условии, что этот предел существует):

 

Если функция в точке х0 (или на промежутке Х) имеет конечную производную, то функция называется дифференцируемой в этой точке (или на промежутке Х).

Таблица производных

(с)¢=0, c=const;

 (где aÎR);

> 0,  в частности 

 

 

 

Основные правила дифференцирования

с-постоянная,  u(x) и v(x)-дифференцируемые функции:

с¢=0;  х¢=1; (uvw)¢=u¢vw+uv¢w+uvw¢

(u ±v)¢=u¢±v¢ 

(u×v)¢=u¢v + uv¢ ;

(cu)¢=cu¢;

Пусть функция u = j(x) имеет производную в точке х0, а функция y=f(u) - в точке u0=j(x0). Тогда сложная функция y=f(j(x)) также имеет производную в точке х0, причем

y¢(x0)=y¢(u0)×u¢(x0).

Если y=f(x) - дифференцируемая и строго монотонная функция на промежутке Х, то функция обратная к данной х=j(у), также дифференцируема и ее производная определяется соотношением:

  y¢x ¹ 0.

Геометрический смысл производной

Пусть функция y=f(x) имеет производную в точке х0. Тогда существует касательная к графику этой функции в точке М0(х0;у0), уравнение которой имеет вид

 у-у0=f¢(x0)(x-x0).

При этом f¢(x0)=tga, где a-угол наклона этой касательной к оси Ох.

Прямая, проходящая через точку касания, перпендикулярно касательной, называется нормалью к кривой и имеет уравнение

 

Производная неявной функции

Пусть функция y=y(x), обладающая производной в точке х, задана неявно уравнением

  F(x,y)=0.

Тогда производную y¢(x) этой функции можно найти, продифференцировав это уравнение (при этом у считается функцией от х), и разрешая затем полученное уравнение относительно у¢.

Основы дифференцирования Функцией называется непрерывной, если в каждой своей точке из области определения, данная функция будет иметь производную.

Задача Ньютона-Лейбница Понятие неопределенного интеграла связано с понятием первообразной. Найти первообразную – это значит «взять интеграл» Интегрирование – это операция обратная дифференцированию.

Множества. Действительные числа. Множества, подмножества. Основные понятия

Производные высших порядков Производная от функции f¢(x) называется производной второго порядка от функции f(x) (или второй производной) и обозначается


Математический анализ