На главную v-garant.ru
Алгебра и аналитическая геометрия Метод Гаусса Комплексные числа Предел функции одной переменной Схема исследования графика функции Исследование функции на экстремум Локальный экстремум функции Функциональные ряды

Учебник по высшей математике

Многочлены

Эвристические соображения.

Пусть   – поле. Тогда многочленом (полиномом) от одной переменной с коэффициентами из  называется выражение вида

Здесь под понимается некоторый символ, который может принимать любые значения из .

Многочлен можно понимать как:

формальное выражение;

как функцию , если .

Ключевой вопрос: что значит, что два многочлена равны?

Если следовать первому пункту, то

равносильно выполнению равенств  Если второму, то  должно выполняться равенство . Легко видеть, что если многочлены равны как  формальные выражения, то они равны как функции. Обратно неверно.

Пример. Если с операциями, введенными в примере 5 из примеров колец (см. п. 3° из § 2), то многочлены  и  совпадают как функции, но различны как формальные выражения. Тоже самое  и .

  В дальнейшем будем рассматривать многочлены как формальные выражения. Более того, для удобства формальной записи алгебраических операций многочлены желательно рассматривать как сумму бесконечного числа слагаемых вида   с конечным числом отличных от нуля слагаемых:  Тогда формулы для суммы и произведения многочленов примут вид:

;

,

где .

2o. Точные определения.

Пусть  – поле.

Определение 1. Многочленом одной переменной с коэффициентами из   называется бесконечная последовательность , в которой все элементы, кроме конечного числа, равны нулю.

Множество многочленов с коэффициентами из поля обознается .

Введем операции сложения и умножения многочленов. Пусть . Тогда

,, где .

Очевидно, что  и  имеют лишь конечное число ненулевых членов, т.е. являются многочленами. При этом, если  имеет  членов, а  ненулевых членов, то  – не более чем , а  – не более чем  ненулевых членов.

Теорема 1.  – коммутативное кольцо с единицей и без делителей нуля.

Доказательство.  – абелева группа – очевидно. При этом нулевой элемент.

Проверим ассоциативность умножения. Пусть

.

Необходимо доказать, что . Имеем:

, где . Тогда

, где ,

и

, где ,

т.е. ассоциативность умножения выполняется.

Проверим дистрибутивность, т.е. выполнение равенств

.

Имеемгде ;

где .

Аналогично доказывается второе равенство.

Проверим коммутативность умножения. Имеем

, где  и

, где

  силу коммутативности умножения в .

Легко проверить, что  – единица в , так как .

Покажем, что в  нет делителей нуля. Пусть, , , , , , , . Тогда 

, где , т.к.  не имеет делителей нуля. Следовательно,  ­­­­– кольцо без делителей нуля. ■

 Рассмотрим . Очевидно, что

.

Следовательно, множество  можно отождествить с  (т.е. построить изоморфизм между этими кольца, причем  ставится в соответствие .)

  Обозначим  (т.к. ).

Лемма 1. Пусть . Тогда .

Доказательство. Так как , то легко видеть, что  . Тогда

, и, значит

Терминология. Пусть . Тогда  – свободный член. Если , то – степень многочлена. Пишут  (degree),  – старший коэффициент , ,  – переменная.

Следствие. . Выполняется .

При этом  , .

Доказательство. Пусть  и . Тогда  и .

Если или .■

Замечание.  определено только для многочленов нулевой степени   близко по свойствам к кольцу  алгоритм деления с остатком.

3o. Деление многочленов.

Теорема 2. Пусть . Тогда

 и .

(1)

Доказательство. Пусть . Если , то можно положить . Если , то будем использовать тот же метод деления, что и для чисел. Пусть

и .

Положим . Тогда . Пусть  и . Если , то остановим процесс вычисления; если , то положим . Пусть ,  – старший коэффициент , и т.д. … Так как степени многочленов  убывают, то получим :  и . Процесс останавливается. Суммируя полученные ранее выражения, получаем:

.

Тогда , , т.е. получено требуемое представление (1).

Докажем единственность.  Пусть  и . Тогда . Если , то (по лемме 1) , a противоречие .■

Определение 2. Если  и , то  называется остатком при делении  на .

Пример. .

Замечание. Из указанного в теореме 2 алгоритма деления с остатком следует, что если  и  – многочлены с действительными коэффициентами, то коэффициенты всех многочленов  а значит и коэффициенты  и  – действительные. Для целых коэффициентов это утверждение, очевидно, неверно.

4o. Делители многочленов. Наибольший общий делитель.

Определение 3. Пусть . Если   , то говорят, что  делится на  или  делит , и пишут . Если  , то  означает, что остаток от деления равен . В этом случае многочлен  называется делителем многочлена .

Свойства (делимости многочленов). Пусть , , , , , . Тогда справедливы свойства:

1) Если , .

 Доказательство следует из равенства .

2) ,   .

 Доказательство. Так как ; так как

 . Тогда имеем

 .

3) ,   .

4)   .

 Доказательство.  . Тогда

 ; следовательно, .

5) Если , , то справедливо

 .

6) .

 Доказательство следует из равенства .

7)   имеем .

8) .

  Действительно, .

9) .

  Доказательство.

   и . Ho .

  и .

10) .

  Доказательство.

 Если   имеем .

Если   и по свойству 1) имеем (в силу свойства 9) .

  Следует из свойства 9.

11) Если , то  имеем .

Определение 4. Многочлен  называется общим делителем  и , если  и . Наибольшим общим делителем (НОД) двух многочленов   и  называется их делитель , который делится на любой другой их общий делитель.

Замечание. Ненулевая постоянная является общим делителем любых двух многочленов.

Лемма 2. Если НОД двух многочленов  и  существует, то он определен с точностью до множителя .

Доказательство. Пусть  и  – два НОД для  и   и  (по свойству 10) , для  и .

Пусть . Если  – общий делитель для   и , то  – тоже общий делитель. Если – НОД, т.е. любой другой делитель делит , то − тоже НОД.■

Лемма 3. Если , , то пары многочленов  и  имеют одинаковые общие делители.

Доказательство. Пусть  – общий делитель  и (из ) (по свойству 5) . Аналогично, из делимости  и  на   и  делятся на .■

Лемма 4. Если , то  – НОД для  и , т.е. .

Доказательство следует из того, что  – делитель  и  и любой делитель  и  делит .

Теорема 3. Для ,  НОД().

Доказательство. Рассмотрим . Если , то в силу леммы 4 и условия имеем – НОД().

Если, то поделим  на  с остатком . Если, то теорема доказана в силу леммы 4.

Пусть . Тогда делим  на . Если остаток , то доказательство завершаем, если , то делим  на  и т.д. Так как степени остатков все время уменьшаются, то процесс конечен. Таким образом, имеем следующую последовательность равенств:

(E)

Здесь .

Из равенств () и леммы 2 что пары многочленов   имеют общие делители делители  и  совпадают с делителями многочлена (по лемме 4)   – делитель  и .

Если   – любой другой делитель  и   он делитель и  – НОД.■

Замечание 1. Алгоритм построения НОД, использованный в теореме 3, называется алгоритмом Евклида или алгоритмом последовательного деления.

Замечание 2. Если .

Замечание 3. Так как НОД определен с точностью до множителя, то будем считать, что коэффициенты при старшей степени равен 1.

Пример. Если , то .

Замечание 4. При вычислении НОД результаты вычисления можно умножать и делить на элементы из , что влияет лишь на множители.

Теорема 4 (теорема о разложении НОД). Пусть  и , . Тогда  

(2)

При этом, если , то  и  можно подобрать так, что  и .

Доказательство. Если , то .

Аналогично, если .

Пусть теперь  и  не является делителем . Тогда можно считать, что . Из последнего равенства из (Е) следует, что

.

Положим .

Из равенства  

где .

Поднимаясь дальше вверх, приходим к (2).

Докажем второе утверждение теоремы. Пусть (2) получено, но  Покажем, что (1) можно привести к виду 

где 

  Делим u на g с остатком: где

 Подставим u в (1), имеем:

 (2)

 Положим, . Тогда  Покажем, что  От противного: пусть . Имеем  Так как , что противоречит определению НОД.

Пример. 

НОД

 

 

 Замечание. Аналогично для случая многих многочленов вводится НОД.

5˚. Взаимно простые многочлены.

Определение 5. Многочлены  называют взаимно простыми, если их общие делители только многочлены нулевой степени.

Лемма 5. ­– взаимно просты НОД

Теорема 5 (критерий взаимной простоты многочленов)

− взаимно просты

 

 Док-во:

 следует из теоремы 4.

*  Из (3)   общий делитель идолжен делить 1  он постоянен  - взаимно просты. ■

Св-во (взаимно-простых многочленов)

1º. - взаимно прост c и  - взаимно прост с .

 Док-во:

 НОД  НОД    

 * |умножая на  

 Если   и  - не взаимно просты   делитель, который является делителем для    - не взаимно просты . ■

2º.  НОД   

 Док-во:

 НОД      |умножим на

   . Т.к.  и   

3º.  НОД   

 Док-во:

          

   ■

6º. Корни многочленов.

Определение 6. Число  называется корнем , если

Теорема 6 (теорема Безу).

 , тогда   

Док-во:

 Разделим   

       

Замечание. Остаток от деления по  равен

Следствие. Число корней нулевого многочлена не превосходит его степени.

Док-во:

 По индукции. Если , то   корней нет  доказано.

 Пусть для доказано и  

Если нет корней  все!

Если   - корень  и

Корни   - это корни  и наоборот  (корни)=(корни)+1.■

Замечание. Т.о., задача нахождения корней многочлена равносильна нахождению его нормальных делителей.

 Многочлен  можно разделить на  с остатком используя так называемую схему Горнера. Пустьимеет вид:

и пусть  где .

Приравнивая левую и правую часть, получаем:

 

  , , …, .

Откуда 

 

Для практического использования схему Горнера строят следующим образом:

Отметим, что

Пример.  Найти

1

0

-4

6

-8

10

2

1

-4+4=0

-8+12=4

Пусть с – корень многочлена  т.е.  и значит, по теореме Безу,  Может оказаться, что  , то

Определение 7. Наибольшее  называется кратностью корня  многочлена  корень  называется k-кратным корнем  Если k=1, то корень называется простым.

Замечание1.  Если с – корень кратности k для , то  и

  т.е. . Наоборот, если  и  то с –корень кратности k многочлена

Предположим, что  

* | т.к. в кольце нет делителей нуля |  противоречие.

Замечание2.  является корнем нулевого многочлена.

Пусть

Теорема 7.

 Если  является k-кратным корнем многочлена, то при k>1 число  будет (k-1)-кратным корнем производной  Если k=1, то   не является корнем

Док-во:

 Пусть  - k-кратный корень Тогда , где , т.е.  Дифференцируя это представление  по , имеем: . Т.к.  не делит  Т.к. частное от деления определяется однозначно, то   является наибольшей степенью , которая делит

Следствие. 

Если с – k-кратный корень , то с – (k-s)-кратный корень для  

7º. Основная теорема алгебры и следствия из нее.

Теорема 8 (основная теорема алгебры). Всякий многочлен  имеет хотя бы один корень.

Доказательство. Первые попытки доказательства этой теоремы в XVII в. – Роте, Жирар, Декарт, в XVIII в. – Д’Аламбер, Эйлер, Лаплас, Лагранж. Первое строгое доказательство в 1799 г. – К.Гаусс. Доказательство см., например, Курош.

Следствие 1.  числа  справедливо разложение

(4)

где   − старший коэффициент,  − корни многочлена .

Доказательство. Пусть  По теореме 8  корень многочлена ; тогда по теореме Безу 6 справедливо представление   где  имеет степень (n-1) и по ОТА имеет корень  

В итоге получаем (4), где коэффициент  появляется, т.к. если вместо  записать , то после раскрытия скобок получим .■

Следствие 2. Разложение (4) для многочлена  является единственным с точностью до порядка сомножителей.

Доказательство. Пусть имеется и другое разложение:

.

Тогда имеем равенство:

=.

Если бы корень был отличен от всех корней , то после подстановки слева получаем 0, а справа – нет корню  соответствует некий корень  и наоборот.

Отсюда еще не следует совпадение всех корней двух разложений. Может случиться, что среди корней , есть одинаковые. Пусть  − корень кратности , а соответствующий корень  − корень кратности . Нужно показать, что .

Пусть. Т.к.  − кольцо без делителей нуля, то можно сократить на приходим к равенству, где слева есть множитель , а справа – нет. Как показано выше, это приводит к противоречию■.

Объединяя одинаковые множители, разложение (4) перепишем в виде:

где   − попарно различные корни.

Докажем, что число ,  является кратностью корня . Действительно, если эта кратность , то . Пусть вместе с тем . Тогда в силу определения кратности . Заменяя здесь  его разложением на линейные множители, получим разложение, отличное от (4)  противоречие с единственностью разложения

Следствие 3. Каждый многочлен  имеет корней, если каждый корень считать столько раз, какова его кратность.

Следствие 4. Число различных корней непостоянного многочлена не превосходит его степени.

Следствие 5. Если два многочлена  принимают одинаковые значения при  различных аргументах, то .

Доказательство. Пусть  Рассмотрим многочлен . Имеем:   имеет различных корней ||в силу следствия 4||

Следствие 6. Для любых попарно различных  и любых  существует единственный многочлен

Доказательство. Если указанный многочлен существует, то, в силу следствия 5, он единственный. Такой многочлен имеет вид:

, (5)

где

Из формулы видно, что  и так как

, то

Определение 8. Построенный многочлен  называется интерполяционным многочленом Лагранжа, а (5) – интерполяционной формулой Лагранжа.

Следствие 7 (формулы Виета).  Пусть  и  − корни , причем каждый корень выписан столько раз, какова его кратность

При n=2,   

 n=3,   , ,

8º. Многочлены с действительными коэффициентами.

  Пусть  но . Такой многочлен называется многочленом с действительными коэффициентами.

Лемма 5. Если  − корень многочлена  с действительными коэффициентами, то  − также корень .

Доказательство. Так как  − корень многочлена    взяв комплексное сопряжение

Из леммы 5  если  то из    Если  то  − многочлен с действительными коэффициентами, т.к.

Лемма 6. Если  − корень кратности  многочлена  с действительными коэффициентами, то  − тоже −кратный корень .

Доказательство. Пусть  − −кратный корень и пусть . Тогда , где  Отсюда имеем где

Многочлен - многочлен с действительными коэффициентами как частное двух многочленов с действительными коэффициентами и определяется однозначно. Т.о,  что противоречит лемме 5   не может быть больше . Аналогично, не может быть меньше  

Лемма 7. многочлен  с действительными коэффициентами нечетной степени имеет хотя бы один действительный корень.

Определение 9. Многочлен , называется неприводимым (над полем ), если его нельзя представить в виде произведения многочленов из , степени которых меньше .

 Очевидно, что  т.е.   а также вида  являются неприводимыми.

Теорема 9. Для всякого  имеет место разложение на неприводимые множители вида

 (6)

где ,  Это разложение единственно с точностью до перестановки сомножителей.

Доказательство. Пусть  Рассмотрим многочлен  над С с теми же коэффициентами. Согласно леммам 5 и 6 его корни можно расположить в последовательности:  где   Согласно следствию 1 к ОТА, имеем:

  .

Полагая   имеем  для  получим (6).

Для доказательства единственности заметим, что правая часть (6) равна   для . Но набор неприводимых множителей определяется корнями   разложение единственно. ■

Следствие. Всякий неприводимый многочлен над  имеет вид : , , , или .

Алгебраические операции. Основные типы алгебраических структур

Поле рациональных дробей Эвристические соображения. В анализе изучаются дробно-рациональные функции вида , где  − многочлены. Мы их будем рассматривать как формальные выражения.

Транспонирование матриц. Определитель транспонированной матрицы.

Линейное пространство Определение и простейшие свойства Пусть даны поле  с элементами, называемыми скалярами и обозначаемыми малыми греческими буквами , , , … и множество элементов, называемых векторами и обозначаемых латинскими буквами  .


Математический анализ