Лекции по математике
Криволинейный интеграл
Векторное поле
Вычисление пределов
Примеры решения задач
Поверхностный интеграл
Решение типовых задач
Производная функции
Интегрирование по частям
Двойной интеграл
Тройной интеграл
Карта сайта

Решение задач контрольной по математике. Типовые и курсовые расчеты

Матрицы и определители

Задания для подготовки к практическому занятию

Примеры.

Даны матрицы:

1. Какого размера матрица А? Перечислите ее элементы.

  Решение: В данной матрице 2 строки и 3 столбца, значит, это матрица размера 2´3.

Элемент матрицы А в первой строке и первом столбце обозначается а11 и равен в данном случае а, т.е. а11=а. Элемент в первой строке и втором столбце а12=0. Далее, а13=1, а21=-2,5, а22=-b, а23=0.

2. Какого размера матрица АТ? Выпишите ее.

 Решение: Для того, чтобы найти матицу АТ, надо в матрице А заменить строки на столбцы и наоборот. Значит, в матрице АТ будет 3 строки и 2 столбца, т.е. АТ – матрица размера 3´2. При этом первая строка матрицы А станет первым столбцом матрицы АТ, вторая строка станет вторым столбцом:

3.  Найдите 2А+В. Существует ли А+2С?

Решение: Чтобы умножить матрицу на число, надо каждый элемент матрицы умножить на это число, при этом размер матрицы, конечно, сохранится. Следовательно, . Чтобы сложить две матрицы, надо сложить элементы, стоящие в этих матрицах на одинаковых местах. При этом размеры матриц должны совпадать и результат будет матрицей того же размера. Следовательно,

.

Сумма А+2С не существует, так как А – матрица размера 2´3, а матрица 2С, как и матрица С, размера 2´2, так что элементы в третьем столбце матрицы А просто не с чем складывать.

4. Существуют ли произведения АВ, АС, ВА, СА?

Решение: Для того чтобы существовало произведение матриц, надо чтобы количество столбцов первой матрицы совпадало с количеством строк второй матрицы. При этом произведение матриц содержит столько же строк, сколько первая матрица и столько же столбцов, сколько вторая. Рассмотрим попарно данные матрицы и их размеры, подчеркнем те числа, которые должны совпадать чтобы их произведение в указанном порядке существовало:

А – 2´3, В – 2´3, не совпадают, следовательно, АВ не существует;

А – 2´3, С – 2´2, не совпадают, следовательно, АС не существует;

В – 2´3, А – 2´3, не совпадают, следовательно, ВА не существует;

С – 2´2, А – 2´3, совпадают, следовательно, СА существует и является матрицей размера 2´3.

5. Существуют ли определители матриц А, В, С? Если да, вычислите.

Решение: Определитель существует только у квадратной матрицы. Следовательно, матрицы А и В не имеют определителей. Определитель матрицы С вычислим по правилу для определителей второго порядка:

Вычисление двойного интеграла в декартовых координатах.

Определение 1 Замкнутая область D называется правильной в направлении оси 0y (или 0x), если любая прямая, проходящая через внутреннюю точку области D и параллельная оси 0y (или 0x), пересекает границу области D только в двух точках.

  

 Рис.2 Рис.3 Рис.4 Рис.5

На рисунках:

2 – D правильная в направлении 0y;

3 – D правильная в направлении 0x;

4 – D правильная в направлении 0x, но неправильная в направлении 0y;

5 – D правильная в направлении 0y, но неправильная в направлении 0x.

.

Задания для подготовки к практическому занятию Вопросы и задачи

Задания для подготовки к практическому занятию

Решить матричные уравнения АХ=В и YА=В.

Рассмотрим основные свойства умножения матриц

Теория делимости квадратных матриц Выше мы убедились, что арифметические операции над матрицами, прежде всего в части умножения, отличаются по своим свойствам от аналогичных операций над числами. Однако наиболее существенные отличия связаны с операцией деления.

Основные типы алгебраических структур

Пример. Множество  является мультипликативной группой, т.е. операция умножения матриц определяет на этом множестве структуру группы.

Элементарные преобразования над матрицами и элементарные матрицы

Нашей ближайшей целью является доказательство того, что любая матрица с помощью элементарных преобразований может быть приведена к некоторым стандартным видам. На этом пути полезным является язык эквивалентных матриц.

Пример Построить матрицу  приведённого вида

Разложение матрицы в произведение простейших 1-й критерий обратимости матрицы. Для того, чтобы матрица  была обратимой, необходимо и достаточно, чтобы она была представима в виде произведения элементарных матриц. Достаточность. Элементарные матрицы обратимы, а произведение обратимых матриц есть матрица обратимая. Поэтому утверждение “матрица, представимая в виде произведения элементарных матриц, обратима очевидно.

Матричные уравнения Уравнение, называется матричным, если в качестве неизвестного оно содержит матрицу.

 

Найти матрицу , если .

  Пример Найти матрицу ,

Найти матрицу .

Разложить матрицу  в произведение простейших. Выяснить, является ли матрица  обратимой, и в случае её обратимости найти матрицу , если .


На главную страницу сайта