Лекции по математике
Криволинейный интеграл
Векторное поле
Вычисление пределов
Примеры решения задач
Поверхностный интеграл
Решение типовых задач
Производная функции
Интегрирование по частям
Двойной интеграл
Тройной интеграл
Карта сайта

Решение задач контрольной по математике. Типовые и курсовые расчеты

Производная функции

Задания для подготовки к практическому занятию

Займемся непосредственно вычислением производных, для чего используем сводную таблицу формул дифференцирования. Вторая часть таблицы, в которой приведены производные основных элементарных функций, записана для сложных функций вида f(u), u=u(x). При этом следует помнить, что .

Примеры.

Вычислить производные функций:

а); б); в); г)y=sin2x; д)y=ln(x2+1)

Решение:

 а)

 .

 б)

 .

 в) .

 г) .

 д) .

 Производная широко применяется в исследовании функции и при решении связанных с этим практических задач.

 В том числе дифференцирование применяют для вычисления пределов, используя так называемое правило Лопиталя:

Предел отношения функций, представляющий неопределенность вида  или , равен пределу отношения их производных: 

Теорема (о среднем значении двойного интеграла).

Если функция z = f (x;y) непрерывна в замкнутой области D, то внутри области D найдется, хотя бы одна точка , в которой выполняется равенство:

 ,

где   – площадь области D.

Доказательство: По свойству непрерывной функции в замкнутой области, функция z = f (x;y) в области D достигает своих наименьшего (m) и наибольшего (M) значений.

Значит: m ≤ f (x;y) ≤ M для .

Тогда для всех  можно записать ,

где

Умножая последнее неравенство на ∆Si > 0, получим:

 

Суммируем все n неравенств 

  

Вынесем m и М за знаки сумм (как постоянные величины) и перейдем к пределам при n → ∞ и max ∆Si → 0 (стягиваясь в точку):

 

Ссылаемся на определение двойного интеграла и получаем:

 

По свойству непрерывной в замкнутой области функции, функция z = f(x;y) в области D принимает все промежуточные значения между наименьшим (m) и наибольшим (М) значениями.

Следовательно, существует точка , в которой:

 

Теорема доказана.

Производная и дифференциал. Исследование функций.


На главную страницу сайта