Лекции по математике
Криволинейный интеграл
Векторное поле
Вычисление пределов
Примеры решения задач
Поверхностный интеграл
Решение типовых задач
Производная функции
Интегрирование по частям
Двойной интеграл
Тройной интеграл
Карта сайта

Решение задач контрольной по математике. Типовые и курсовые расчеты

Справочный материал к выполнению контрольной работы №2

Тройной интеграл

Вычисление тройного интеграла в декартовых координатах

Пусть функция 3-х переменных u = f (x, y, z) задана и непрерывна в замкнутой области V xOyz. Тройной интеграл от этой функции по области V имеет вид: , где .

Если область V – правильная в направлении оси Oz (рис. 5), то ее можно задать системой неравенств:  где z = z1 (x, y) и z = z2 (x, y) – это уравнения поверхностей, ограничивающих область (тело) V соответственно снизу и сверху (рис. 5).

 Если область D можно задать системой неравенств

  то

В этом случае тройной интеграл от функции u = f (x, y, z) по области V можно вычислить при помощи трехкратного повторного интеграла:

.

Здесь каждый внутренний интеграл вычисляется по «своей» переменной интегрирования в предположении, что переменные интегрирования внешних интегралов остаются постоянными.

Существует всего 6 вариантов сведения тройного интеграла к трехкратному в декартовых координатах (в зависимости от выбранного порядка интегрирования).

 

Вычисление тройного интеграла в цилиндрических координатах

Цилиндрические координаты точки М в пространстве – это ее полярные координаты на плоскости xOy и координата z, т.е. .

Преобразование тройного интеграла по области V к цилиндрическим координатам осуществляется при помощи формул , , .

Если область V задана системой неравенств:

  причем  то V:

Вычисление тройного интеграла по области V в цилиндрических координатах сводится к вычислению трехкратного интеграла в соответствии с записанной системой неравенств для области V:

.

 

 

Некоторые приложения тройных интегралов

 Если подынтегральная функция f (x, y, z) º 1, то тройной интеграл от нее по области V равен мере области интегрирования – объему пространственного тела, занимающего область V: .

Если  – это плотность неоднородного материала (т.е. масса единицы объема), из которого изготовлено тело, то при помощи тройного интеграла можно вычислить массу тела, его статические моменты относительно координатных плоскостей и другие величины. Например, формула для вычисления массы тела имеет вид:

.  (12)

ТЕОРЕМА 1 (достаточное условие существования точки локального экстремума функции)

Если 1)   – непрерывна на  и дифференцируема в ; , кроме возможно точки ;

 2)   или не существует ;

 3) ,  меняет знак в точке  при переходе слева направо через ,

то  имеет локальный экстремум в точке .

Доказательство. Пусть для определенности  на  (имеет знак "+") и  на  (имеет знак "–"). Тогда на  , т.е. ;

на   , т.е. ,

т.е. приращение функции ,  сохраняет знак, в окрестности точки ; а это означает (по определению), что  – точка локального максимума 
функции .

Аналогичные рассуждения в случае смены знака производной  с "–" на "+" при переходе слева направо через стационарную точку  ().

Заметим, что обратное утверждение неверно, т.е. в точке  функция может иметь  (например, ), а производная  меняет знак в бесконечном множестве точек на всякой окрестности точки .

Контрпример. , .


Вычисление определенного интеграла