Лекции по математике
Криволинейный интеграл
Векторное поле
Вычисление пределов
Примеры решения задач
Поверхностный интеграл
Решение типовых задач
Производная функции
Интегрирование по частям
Двойной интеграл
Тройной интеграл
Карта сайта

Решение задач контрольной по математике. Типовые и курсовые расчеты

Справочный материал к выполнению контрольной работы №2

Криволинейный интеграл II рода (по координатам)

Общий вид криволинейного интеграла II рода (по координатам):

,

где BC – это дуга пространственной линии от точки B до точки C с указанным на ней направлением,  P (x, y, z), Q (x, y, z), R (x, y, z) – некоторые функции, заданные во всех точках дуги BC.

В двумерном случае: , где BCxOy.

Если P (x, y), Q (x, y) – проекции на оси Ox и Oy вектора переменной силы , то

 А = (13)

– это работа силы  при перемещении точки ее приложения вдоль участка дуги BC.

Пусть кривая BC задана параметрически:  причем функции x (t) и y (t) – непрерывны и дифференцируемы по t, а tB, tC – значения параметра для начала и конца кривой (в точках B и C). Тогда

и вычисление криволинейного интеграла сводится к вычислению определенного интеграла по переменной t:

.

 

Векторная функция скалярного аргумента

Если каждому значению параметра t из некоторого промежутка  ставится в соответствие по некоторому правилу определенный вектор, то говорят, что задана вектор-функция скалярного аргумента t: .

Откладывая векторы  при  от начала координат, получаем траекторию движения конца вектора, называемую годографом вектор-функции .

Проекции вектора  на оси координат являются функциями аргумента t, поэтому можно записать вектор-функцию в координатной форме:

,

где векторы  – это орты координатных осей Ox, Oy и Oz.

Первую, вторую и т.д. производные вектор-функции  находят дифференцированием ее проекций x(t), y(t) и z(t) по аргументу t:

,

.

Если параметр t – это время, то векторное уравнение  называют уравнением движения точки, а годограф вектор-функции  является траекторией движения. Тогда вектор-производная  называется скоростью движения точки в момент времени t:

.  (14)

Скорость движения – это вектор, направленный по касательной к траектории движения (годографу) в соответствующей точке в сторону возрастания параметра t. Вектор

 (15)

называется ускорением движения точки в момент времени t.

ТЕОРЕМА (о достаточном условии строгой монотонности
функции на промежутке)

;

;

аналогично для строгого убывания функции

.

Доказательство. Возьмем ,  так, чтобы  (). Тогда по теореме Лагранжа найдется   такое, что  и , что соответствует определению строгого возрастания функции на промежутке.

ТЕОРЕМА (необходимое условие существования точки локального экстремума функции)

Если функция  непрерывна в  и имеет экстремум в точке , то  или не существует .

Доказательство. Пусть  – точка локального максимума функции , , , т.е. найдется окрестность этой точки  такая, что , т.е. . Далее используем теорему Ферма.

Аналогичные рассуждения для случая  – точка локального минимума функции .


Вычисление определенного интеграла