Задача 7. Дана функция комплексной переменной 
, где z = x + iy, и точка z0 = – 1
+ 3i. Требуется:
представить функцию в виде w = u(x, y) +iv(x, y), выделив ее действительную и мнимую части;
проверить, является ли функция w аналитической;
в случае аналитичности функции w найти ее производную w′ в точке z0.
Решение.
1) Выделим действительную и мнимую части функции:
.
2) Чтобы установить аналитичность функции w, проверим выполнение условий Коши-Римана (10):
Получили:
. Условия Коши-Римана выполняются во всех точках, кроме
особой точки z = 2i, в которой функции x = 0, y = 2 и функции u(x, y) и v(x, y)
не определены. Следовательно, функция – аналитическая при 
.
3) Найдем производную функции:
.
Вычислим значение производной функции в точке z0 = – 1 + 3i.
Ответы:
1) 
;
2) функция аналитическая при ;
3) 
.
ТЕОРЕМЫ ПО ТЕМЕ "ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИИ
И ПОСТРОЕНИЕ ЕЕ ГРАФИКА"
ТЕОРЕМА
(о необходимом и достаточном условиях существования наклонной асимптоты кривой
при 
или
при 
)
Пусть функция
определена на 
. Прямая 
– наклонная асимптота для при тогда и только тогда, когда 1) 
– конечное число; 2) 
– конечное число.
Доказательство. (
) Если – наклонная асимптота при (
– числа), то 
, т.е. 
. Поэтому 
и 
.
(
)
Из 1) и 2) имеем 
и , т.е. – наклонная асимптота при .
Аналогичные рассуждения при
.