Задача 7. Дана функция комплексной переменной
, где z = x + iy, и точка z0 = – 1 + 3i. Требуется:
представить функцию в виде w = u(x, y) +iv(x, y), выделив ее действительную и мнимую части;
проверить, является ли функция w аналитической;
в случае аналитичности функции w найти ее производную w′ в точке z0.
Решение.
1) Выделим действительную и мнимую части функции:
.
2) Чтобы установить аналитичность функции w, проверим выполнение условий Коши-Римана (10):
Получили:
. Условия Коши-Римана выполняются во всех точках, кроме особой точки z = 2i, в которой функции x = 0, y = 2 и функции u(x, y) и v(x, y) не определены. Следовательно, функция
– аналитическая при
.
3) Найдем производную функции:
.
Вычислим значение производной функции в точке z0 = – 1 + 3i.
Ответы:
1)
;
2) функция
аналитическая при
;
3)
.
ТЕОРЕМЫ ПО ТЕМЕ "ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИИ
И ПОСТРОЕНИЕ ЕЕ ГРАФИКА"
ТЕОРЕМА (о необходимом и достаточном условиях существования наклонной асимптоты кривой
при
или
при)
Пусть функция
определена на
. Прямая
– наклонная асимптота для
при
тогда и только тогда, когда 1)
– конечное число; 2)
– конечное число.
Доказательство. (
) Если
– наклонная асимптота при
(
– числа), то
, т.е.
. Поэтому
и
.
(
) Из 1) и 2) имеем
и
, т.е.
– наклонная асимптота при
.
Аналогичные рассуждения при
.
Вычисление определенного интеграла |