На главную v-garant.ru
Метод замены переменной Интегрирование по частям Вычислить криволинейный интеграл Поверхностный интеграл Функции комплексной переменной Функции нескольких переменных Векторное поле Решение типовых задач

Решение задач контрольной по математике. Типовые и курсовые расчеты

Интегрирование по частям

ПРИМЕР 1. Вычислить .

РЕШЕНИЕ. Выберем ,  и проведем вычисления согласно (*) (обращаем внимание на возможный вариант записи этих вычислений).

.

При отыскании  постоянную интегрирования положили равной нулю. Можно проверить, что введение произвольной постоянной  при нахождении  не изменит вида окончательного ответа.

2. Иногда для вычисления интеграла приходится применять формулу интегрирования по частям последовательно несколько раз, при этом выбор множителей   и  должен быть преемственным.

ПРИМЕР 2. Вычислить .

РЕШЕНИЕ. Применяя формулу (*) дважды, получим

.

Не всегда выбор множителей  и  в подынтегральном выражении очевиден. В этом случае приходится перебирать различные варианты, отбирая тот, при котором интеграл   проще исходного интеграла.

ПРИМЕР 3. Вычислить , .

РЕШЕНИЕ. Производные функций  и  "проще" самих функций, но при выборе  появляются затруднения с нахождением  (нет в таблице интеграла ). Поэтому полагаем , . Тогда ,  и

.

3. Среди табличных интегралов отсутствуют интегралы таких функций, как   и т.д. Они вычисляются с помощью интегрирования по частям.

ПРИМЕР 4. Вычислить .

РЕШЕНИЕ.

.

4. Интегрирование по частям иногда эффективно для вычисления интегралов от тригонометрических функций, в частности, для , в случае, когда один из показателей – нечетное
отрицательное целое число.

ПРИМЕР. Вычислить .

РЕШЕНИЕ. Множитель  выбираем так, чтобы в интеграле  степень функции в знаменателе уменьшилась. Полагая , имеем

 

.

Задача.  Дано векторное поле  и уравнение плоскости d: 3x + y + 2z – 3 = 0. Требуется:

найти поток поля  через плоскость треугольника АВС где А, В, и С – точки пересечения плоскости d с координатными осями, в направлении нормали плоскости, ориентированной «от начала координат»; построить чертеж пирамиды ОАВС, где О – начало координат; используя формулу Остроградского-Гаусса, вычислить поток поля  через полную поверхность пирамиды ОАВС в направлении внешней нормали.

Проверить, является ли векторное поле силы  потенциальным или соленоидальным. В случае потенциальности поля найти его потенциал и вычислить с помощью потенциала работу силы  при перемещении единичной массы из точки M(0,1,0) в точку N(–1,2,3).

ПРИМЕР Подвести под дифференциал . РЕШЕНИЕ. Последовательно проведем следующие преобразования: . Воспользуемся формулой  при  и получим окончательно . Но тогда .

Интегрирование тригонометрических функций вида


Сексуальные приключения от девочек Фрунзенского района http://samara.prostitutki.ca/locations/frunzenskij/ откроют для вас мир секса | Милые и нежные проститутки Ленинского района http://tumen.prostitutki.ca/locations/leninskij/ откроют для вас вселенную секса
Вычисление определенного интеграла