На главную v-garant.ru
Матрицы и определители Векторы Вычисление пределов Исследование функции Математическая логика Производная функции Неопределенный интеграл Вычисление определенного интеграла Двойной интеграл Вычислить тройной интеграл

Решение задач контрольной по математике. Типовые и курсовые расчеты

Неопределенный интеграл. Табличное интегрирование.

Задания для подготовки к практическому занятию

Выучите основную таблицу интегралов.

Примеры

1. Проверьте, верно ли найден интеграл:

Решение. Произвольное постоянное слагаемое С – непременный атрибут любого неопределенного интеграла. Чтобы проверить, верно ли найдена первообразная функция в правой части данного равенства, следует найти ее производную:

.

Поскольку полученная производная не совпадает с подынтегральной функцией , значит, интеграл найден не верно.

(Заметим впрочем, что исправить ситуацию в данном случае легко, домножив правую часть данного равенства на : .)

 Вычислить интегралы:

2. ;  3. ; 4.; 5.

Решение:

2. Данный интеграл является табличным (№10) с точностью до постоянного множителя 2 перед х2:

3. Представим дробь под интегралом в виде суммы, разделив почленно числитель на знаменатель:

.

4. Чтобы свести данный интеграл к табличным, применим простые тригонометрические преобразования:

5. Интеграл отличается от табличного (№3) линейной заменой (5-3х вместо х). Воспользуемся правилом линейной замены (§17.1):

.

Следует помнить правило этого перехода:

Заменить  и  в функции f (x;y) и в уравнениях границ области D;

Заменить  ;

При вычислении двойного интеграла в полярных координатах внешний интеграл вычисляется поот  до, а внутренний по от  до  - если полюс 0 лежит вне области D. Если полюс 0 лежит внутри области D, то внешний интеграл по от 0 до , а внутренний по  от 0 до  (граница области D).

Пример. Вычислить , если D:

Чертеж области D:

  - круг с центром в точке: (1;0) и радиусом r = 1:

В полярной системе уравнение

1) преобразуется:

 

  (рис.10)

 2) прямая 

Ответ: .

Замена переменной; интегрирование по частям

Интегрирование выражений, содержащих квадратный трехчлен

Интегрирование рациональных функций Для того, чтобы проинтегрировать рациональную дробь (многочлен в числителе, многочлен в знаменателе), обычно нужно ее упростить (как вы помните, это значит – представить в виде суммы).

Интегрирование тригонометрических выражений С тригонометрическими интегралами мы уже встречались ранее. Их особенностью, пожалуй, можно считать обилие тригонометрических формул, позволяющих преобразовывать подынтегральное выражение, что часто позволяет его упростить. Способов такого преобразования, как и способов замены переменной в тригонометрическом интеграле обычно много, но для некоторых типов интегралов известны стандартные действия, приводящие к ответу наиболее коротким путем. Их описанию и посвящен рассматриваемый параграф лекций. На наш взгляд, приведенный там материал достаточно прост и показателен, сделаем только два замечания

Функции нескольких переменных Пример. Найти область определения функции

Неопределенный интеграл Пример .

Найти интеграл . Решение. Воспользуемся формулой интегрирования по частям: .

Найти интеграл .


Окончание в рот от самых желанных шалав Абакана http://abakan.prostitutki.ca/services/okonchanie-v-rot/ запомнится на всю жизнь | Лёгкое доминирование от диких путан Геленджика http://gelendzhik.prostitutki.ca/services/lyogkoe-dominirovanie/ запомнится на всю жизнь | Помывка в душе от сексапильных шалав Барнаула http://barnaul.prostitutki.fit/girls-services/pomyvka-v-dushe/ понравится абсолютном всем
Вычисление криволинейных интегралов 1-го рода