Функции нескольких переменных
ПРИМЕР 1. Выразить объем
цилиндра, радиус которого
, высота
, через эти переменные. Указать область определения функции. Ответ.
, область определения – часть плоскости
:
ПРИМЕР 2. Найти и построить область определения функции
.
Ответ. Область определения:
и
(рис. 1).
ПРИМЕР 3. Построить схематично график функции
на множестве
:
Ответ. Часть плоскости
, расположенная над прямоугольни-
ком(рис. 2).
Для характеристики множеств
,
, рассмотрим свойства этих множеств, используя специальную
терминологию.Окрестностью
радиуса
точки
является множество всех точек
, удаленных от
менее
чем на, т.е.
.
Заметим, что если
,
, то
– согласуется с ранее рассмотренным понятием
–окрестности точки на числовой оси.
Если
, то
,
, и
есть множество всех точек круга (без границы)
или
.
Если
, то
,
, и
есть множество всех точек шара (без границы)
или
.
Пусть
– множество точек из
, т.е.
.
Точка
– внутренняя точка множества
, если существует окрестность
, содержащаяся во множестве
, т.е.
.
Множество
– открытое в
, если каждая его точка является внутренней точкой множества
.
Например, каждая точка интервала
является внутренней, если
, поскольку каждая точка
интервала принадлежит ему вместе с некоторой окрестностью.
Поэтому интервал– открытое в
множество точек
. Множество
не является открытым в
, так как его точка
не является внутренней.
Точка
– граничная точка множества
, если в любой ее
окрестности существует точкаиз множества
и существует точка
, не принадлежащая множеству
.
Множество всех граничных точек множества
образует границу множества
и обозначается
(читается "гамма от дэ").
Например, точки
и
– граничные для интервала
,
.
Окрестность
с присоединенной границей иногда называют "замкнутым шаром" и обозначают
, т.е.
.
Множество
– ограниченное в
, если
.
Снова ранее рассмотренное понятие "ограниченность числового множества" согласуется с введенным понятием.
Множество
– связное в
, если всякие его две точки можно соединить непрерывной кривой, состоящей только из точек множества
.
Всякое ограниченное связное открытое множество – область; область
вместе со своей границей
– замкнутая область.
Точка
, называется предельной точкой множества
,
, если в любой ее окрестности существует точка
,
отличная оти принадлежащая множеству
.
Множество
,
, называется замкнутым в
, если оно содержит все свои предельные точки.
Например,
– замкнутое в
множество,
– не является замкнутым в
множеством, поскольку
– предельная точка множества
, но
.
Предельная точка множества может принадлежать, а может и не принадлежать множеству.
Точка
, называется изолированной точкой множества
, если можно указать окрестность этой точки такую, что в ней нет других точек из множества
, т.е.
.
Понятия "открытое множество" и "замкнутое множество" не
отрицают друг друга. Существуют множества открытые и замкнутые (одновременно), например множествов
, а также можно указать множества, не являющиеся ни открытыми, ни замкнутыми, например множество
в
.
ПРИМЕР 4. Для функции
представить на плоскости
множество точек
ее существования; указать свойства
этого множества.
Решение.
, т.е.
. Геометрически это множество представляется точками, заполняющими вертикальный угол между прямыми
и
, точка
должна быть выброшена.
Свойства множества
:
1)
– не открытое множество, так как можно указать точку, например,
, которая принадлежит множеству, но не является его внутренней точкой;
2)
– не связное множество, так как не всякие две его точки
можно соединить непрерывной кривой, состоящей из точек множества, например точки
и
;
3)
– неограниченное множество, так как
,
;
4)
– незамкнутое множество, так как оно не содержит все свои предельные точки, например точка
– предельная точка для
, но
.
ПРИМЕР 5. Для функции
представить в пространстве переменных
множество точек ее существования; указать свойства этого множества.
Решение.
.
Множество
состоит из всех точек шара (без границы – сферы)
с радиусом 1 и центром в начале координат.Свойства
:
– открытое, связное, ограниченное,
не замкнутое множество.Предел, непрерывность ФНП ПРИМЕР 1. Доказать по определению
.
Диффенцирование неявно заданной функции
Локальный экстремум ФНП Различают несколько постановок задачи на нахождение экстремума ФНП
в зависимости от вида множества
– множества допустимых аргументов
. При этом под символом
можно понимать максимум (
) или минимум (
), но чаще решается задача минимизации ФНП, поскольку
.
Интегрирование функций нескольких переменных С размерностью фигуры связано интуитивно понимаемое понятие мера фигуры (сокр.
). Теория меры множества включает понятия: "спрямляемость" дуги", "квадрируемость" области,
"кубируемость" тела, устанавливая, в частности, необходимые и достаточные условия их существования.Некоторые свойства интеграла ФНП Геометрические свойства интеграла ФНП
Некоторые механические примложения интеграла ФН Масса фигуры (отрезка, дуги, плоской фигуры, части криволинейной поверхности, тела)
Вычисление определенного интеграла |