Решение задач контрольной по математике. Типовые и курсовые расчеты

Функции нескольких переменных

ПРИМЕР 1. Выразить объем  цилиндра, радиус которого , высота , через эти переменные. Указать область определения функции. Ответ. , область определения – часть плоскости :

ПРИМЕР 2. Найти и построить область определения функции .

Ответ. Область определения:  и  (рис. 1).

 

 

ПРИМЕР 3. Построить схематично график функции  на множестве :

Ответ. Часть плоскости , располо­женная над прямоугольни-
ком   (рис. 2).

 

Для характеристики множеств , , рассмотрим свойства этих множеств, используя специальную
терминологию.

Окрестностью  радиуса  точки  является множество всех точек , удаленных от  менее
чем на , т.е.

.

Заметим, что если , , то  – согласуется с ранее рассмотренным понятием –окрестности точки на числовой оси.

Если , то , , и  есть множество всех точек круга (без границы)   или .

Если , то , , и  есть множество всех точек шара (без границы)  или.

Пусть  – множество точек из , т.е. .

Точка  – внутренняя точка множества , если существует окрестность , содержащаяся во множестве , т.е.

.

Множество  – открытое в , если каждая его точка является внутренней точкой множества .

Например, каждая точка интервала  является внутренней, если , поскольку каждая точка
интервала принадлежит ему вместе с некоторой окрестностью.
Поэтому интервал   – открытое в  множество точек . Множество  не является открытым в , так как его точка  не является внутренней.

Точка  – граничная точка множества , если в любой ее
окрестности существует точка  из множества  и существует точка , не принадлежащая множеству .

Множество всех граничных точек множества  образует границу множества  и обозначается  (читается "гамма от дэ").

Например, точки  и  – граничные для интервала , .

Окрестность  с присоединенной границей иногда называют "замкнутым шаром" и обозначают , т.е.

.

Множество  – ограниченное в , если

.

Снова ранее рассмотренное понятие "ограниченность числового множества" согласуется с введенным понятием.

Множество  – связное в , если всякие его две точки можно соединить непрерывной кривой, состоящей только из точек множества .

Всякое ограниченное связное открытое множество – область; область   вместе со своей границей  – замкнутая область.

Точка , называется предельной точкой множества , , если в любой ее окрестности существует точка ,
отличная от  и принадлежащая множеству .

Множество , , называется замкнутым в , если оно содержит все свои предельные точки.

Например,  – замкнутое в  множество,  – не является замкнутым в  множеством, поскольку  – предельная точка множества , но .

Предельная точка множества может принадлежать, а может и не принадлежать множеству.

Точка , называется изолированной точкой множества , если можно указать окрестность этой точки такую, что в ней нет других точек из множества , т.е.

.

Понятия "открытое множество" и "замкнутое множество" не
отрицают друг друга. Существуют множества открытые и замкнутые (одновременно), например множество  в , а также можно указать множества, не являющиеся ни открытыми, ни замкнутыми, например множество  в .

ПРИМЕР 4. Для функции  представить на плоскости  множество точек  ее существования; указать свойства
этого множества.

Решение. , т.е. . Геометрически это множество представляется точками, заполняющими вертикальный угол между прямыми  и , точка  должна быть выброшена.

Свойства множества :

1)   – не открытое множество, так как можно указать точку, например, , которая принадлежит множеству, но не является его внутренней точкой;

2)   – не связное множество, так как не всякие две его точки
можно соединить непрерывной кривой, состоящей из точек множества , например точки  и ;

3)   – неограниченное множество, так как , ;

4)   – незамкнутое множество, так как оно не содержит все свои предельные точки, например точка  – предельная точка для , но .

ПРИМЕР 5. Для функции  представить в пространстве переменных  множество точек ее существования; указать свойства этого множества.

Решение. .

Множество  состоит из всех точек шара (без границы – сферы)
с радиусом 1 и центром в начале координат.

Свойства :  – открытое, связное, ограниченное,
не замкнутое множество.

Предел, непрерывность ФНП ПРИМЕР 1. Доказать по определению .

Диффенцирование неявно заданной функции

Локальный экстремум ФНП Различают несколько постановок задачи на нахождение экстремума ФНП   в зависимости от вида множества  – множества допустимых аргументов . При этом под символом  можно понимать максимум () или минимум (), но чаще решается задача минимизации ФНП, поскольку .

Интегрирование функций нескольких переменных С размерностью фигуры связано интуитивно понимаемое понятие мера фигуры (сокр. ). Теория меры множества включает понятия: "спрямляемость" дуги", "квадрируемость" области,
"кубируемость" тела, устанавливая, в частности, необходимые и достаточные условия их существования.

Некоторые свойства интеграла ФНП Геометрические свойства интеграла ФНП

Некоторые механические примложения интеграла ФН Масса фигуры (отрезка, дуги, плоской фигуры, части криволинейной поверхности, тела)