Функции нескольких переменных
ПРИМЕР 1. Выразить объем
цилиндра, радиус которого 
, высота 
,
через эти переменные. Указать область определения функции. Ответ. 
, область определения – часть плоскости 
: 
ПРИМЕР 2. Найти и построить область определения
функции 
.
Ответ. Область определения:
и 
(рис. 1).
ПРИМЕР 3. Построить схематично график
функции 
на множестве 
:
Ответ. Часть плоскости 
, расположенная над прямоугольни-
ком
(рис. 2).
Для характеристики множеств , 
, рассмотрим свойства этих множеств, используя специальную
терминологию.
Окрестностью 
радиуса 
точки 
является множество всех точек 
, удаленных от менее
чем на 
,
т.е.
.
Заметим, что если 
, 
, то 
– согласуется с ранее рассмотренным понятием –окрестности точки на числовой оси.
Если
, то 
, 
, и есть множество всех точек круга (без границы) 
или 
.
Если 
, то 
, 
, и есть множество всех точек шара (без границы) 
или
.
Пусть – множество точек из 
, т.е. .
Точка – внутренняя точка множества , если существует окрестность , содержащаяся во множестве ,
т.е.
.
Множество
– открытое в , если каждая его точка является внутренней точкой множества
.
Например, каждая точка интервала 
является внутренней, если 
, поскольку каждая точка
интервала принадлежит
ему вместе с некоторой окрестностью.
Поэтому интервал
– открытое в 
множество точек
. Множество 
не является открытым в , так как его точка 
не является внутренней.
Точка
– граничная точка множества , если в любой ее
окрестности существует
точка из множества и существует точка 
, не принадлежащая множеству .
Множество всех граничных точек множества
образует границу множества и обозначается 
(читается "гамма от дэ").
Например,
точки и 
– граничные для интервала , .
Окрестность с присоединенной границей иногда называют "замкнутым
шаром" и обозначают 
, т.е.
.
Множество
– ограниченное в , если
.
Снова ранее рассмотренное понятие "ограниченность числового множества" согласуется с введенным понятием.
Множество – связное в , если всякие его две точки можно соединить непрерывной
кривой, состоящей только из точек множества .
Всякое ограниченное связное открытое
множество – область; область
вместе со своей границей 
– замкнутая
область.
Точка 
, называется предельной точкой множества , , если в любой ее окрестности существует точка ,
отличная от и принадлежащая
множеству .
Множество , , называется замкнутым в , если оно содержит все свои предельные точки.
Например,
– замкнутое в множество, 
– не является замкнутым в множеством, поскольку – предельная точка множества ,
но 
.
Предельная точка множества может принадлежать, а может и не принадлежать множеству.
Точка 
, называется изолированной точкой множества , если можно указать окрестность этой
точки такую, что в ней нет других точек из множества , т.е.
.
Понятия
"открытое множество" и "замкнутое множество" не
отрицают
друг друга. Существуют множества открытые и замкнутые (одновременно), например
множество 
в , а также можно указать множества,
не являющиеся ни открытыми, ни замкнутыми, например множество в .
ПРИМЕР 4. Для функции 
представить на плоскости множество точек 
ее существования; указать свойства
этого
множества.
Решение. 
, т.е. 
.
Геометрически это множество представляется точками, заполняющими вертикальный
угол между прямыми 
и 
, точка 
должна быть выброшена.
Свойства множества
:
1)
– не открытое множество, так как можно указать точку, например, 
, которая принадлежит множеству, но не является
его внутренней точкой;
2)
– не связное множество, так как не всякие две его точки
можно соединить непрерывной
кривой, состоящей из точек множества , например точки 
и 
;
3)
– неограниченное множество, так как 
, 
;
4)
– незамкнутое множество, так как оно не содержит все свои предельные точки, например
точка – предельная точка для
, но 
.
ПРИМЕР
5. Для функции 
представить в пространстве переменных 
множество точек ее существования;
указать свойства этого множества.
Решение. 
.
Множество состоит из всех точек шара (без границы – сферы)
с радиусом 1 и центром в начале координат.
Свойства : – открытое, связное, ограниченное,
не замкнутое
множество.
Предел, непрерывность ФНП ПРИМЕР
1. Доказать по определению 
.
Диффенцирование неявно заданной функции
Локальный экстремум ФНП
Различают несколько постановок задачи на нахождение экстремума ФНП 
в зависимости от вида множества – множества допустимых аргументов . При этом под символом 
можно понимать максимум (
) или минимум (
), но чаще решается задача минимизации
ФНП, поскольку 
.
Интегрирование функций
нескольких переменных С размерностью фигуры связано интуитивно понимаемое
понятие мера фигуры (сокр. 
).
Теория меры множества включает понятия: "спрямляемость" дуги",
"квадрируемость" области,
"кубируемость" тела, устанавливая,
в частности, необходимые и достаточные условия их существования.
Некоторые свойства интеграла ФНП Геометрические свойства интеграла ФНП
Некоторые механические примложения интеграла ФН Масса фигуры (отрезка, дуги, плоской фигуры, части криволинейной поверхности, тела)