На главную v-garant.ru
Метод замены переменной Интегрирование по частям Вычислить криволинейный интеграл Поверхностный интеграл Функции комплексной переменной Функции нескольких переменных Векторное поле Решение типовых задач

Решение задач контрольной по математике. Типовые и курсовые расчеты

Вычисление интеграла ФНП. Решение типовых задач

Вычисление интеграла  рассмотрим подробно в зависимости от  и .

Вычисление определенного интеграла основано на следующих утверждениях, имеющих и самостоятельное значение.

Пусть функция  задана на , . Тогда интеграл  можно назвать "определенным интегралом с переменным верхним пределом", ,  – переменная интегрирования;
он является некоторой функцией верхнего предела, .

Теорема (о дифференцируемости  на )

Если   непрерывна на , то  дифференцируема на , причем  .

Доказательство. Пусть , : . Тогда

, здесь применено свойство о среднем значении непрерывной на  функции ,  – точка, расположенная между  и .

Далее рассмотрим отношение  при , получаем

.

Поскольку  – произвольная точка отрезка , то  
существует для каждого   из , т.е.  – дифференцируемая на  и

.

Замечания.  1. Из представления  следует
непрерывность   в точке  и в силу произвольности точки  – непрерывность   на .

Можно показать [1], что для непрерывности функции  достаточно потребовать интегрируемость (по Риману) подынтегральной функции  на .

2. Для подынтегральной функции  определенный интеграл с переменным верхним пределом определяет
первообразную на .

В частности, теорема задает достаточное условие существования неопределенного интеграла .

ПРИМЕР 1. Вычислить интеграл .

Решение.

.

Замена переменной интегрирования в определенном интеграле проводится соответственно следующей теореме.

ПРИМЕР 2. Вычислить интеграл .

Решение. Введем замену переменной , где , ; ; ;  на ; , .

Получаем

.

2) Среднее значение интеграла, оценка интеграла

ПРИМЕР 3. Для криволинейной трапеции, ограниченной осью , прямыми  и , кривой , найти равновеликий прямоугольник с основанием   на .

Решение. Высотой такого прямоугольника является отрезок длиной

 

.

ПРИМЕР 4. Оценить интеграл .

Решение. Подынтегральная функция  – убывающая на , поскольку  на . Поэтому  и . Точное значение интеграла можно найти, но вычисления сопровождаются громоздким счетом:

  или .

Откуда

.

Видим, что полученная оценка интеграла является грубой,
поскольку промежуток интегрирования  "достаточно велик".

3) Вычисление площади плоской фигуры

а) Площадь фигуры в декартовых координатах

 

ПРИМЕР 5. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями  и .

Решение. В п. 2.5 приведена формула для вычисления площади подобной фигуры. Проектируем фигуру (см. рисунок) на ось  и вычисляем

.

Итак, площадь фигуры .

ПРИМЕР 6. Вычислить площадь фигуры, ограниченной эллипсом .

Решение. Используем симметрию фигуры и вычислим площадь  части фигуры (в I квадранте):   Получаем

.

Итак, площадь эллипса .

 

б) Площадь плоской фигуры в полярных координатах

 

На плоскости можно рассмотреть полярную систему координат . Тогда точке  соответствуют координаты  и , предполагаем полуоси  и  () совпадающими; причем  положительное
направление угла   – против вращения часовой стрелки.

Фигура на плоскости, ограниченная лучами ,  () и кривой , , называется криволинейным сектором. Очевидно, при   имеет круговой сектор и его площадь . Поэтому если провести процедуру построения интегральной суммы  для разбиения , ,  и системы точек , то при , где , , придем к интегралу , который можно
интерпретировать как площадь криволинейного сектора.

Итак, если предел интегральной суммы, построенной по указанной процедуре, существует, то площадь криволинейного сектора можно вычислить по формуле

.

ПРИМЕР 7. Найти площадь фигуры, ограниченной лемнискатой
Бернулли  и окружностью   (внутри
окружности).

Решение. Лемниската существует при , т.е. для  или для ; периодически повторяется для . Симметрия кривой следует из четности функции . При , изменяющемся от  до , значение  убывает от  до , т.е. значение  убывает от  до  () (см. рисунок). Пересечение лемнискаты и окружности 

 имеем при   и по
симметрии при .

Для вычисления площади используем симметрию фигуры ;  – площадь фигуры в I квадранте. Фигура  – объединение двух криволинейных секторов и поэтому

.

Окончательно имеем .

4) Вычисление объема тела

Пусть в пространстве задано тело, проекцией которого на ось  является отрезок  и при любом , , известно значение площади "поперечного" сечения тела плоскостью  . Тогда объем этого тела можно получить, переходя от интегральной суммы  к
интегралу .

Обратная функция , ее свойства ПРИМЕР. Для функции найти обратную функцию; рассмотреть графики прямой и обратной функций.

ПРИМЕР. Вычислить производную функции  на ОДЗ. РЕШЕНИЕ. Можно дифференцировать последовательно: сначала логарифмированную функцию, затем по формулам производной дроби и произведения. На проще сначала выражение прологарифмировать, а затем уже дифференцировать.

Правило Лопиталя применяется только для раскрытия неопределенностей. ПРИМЕР.  – здесь нет неопределенности, правило Лопиталя не применимо; в точке  функция непрерывная и предел ее при  равен значению функции в предельной точке.


Вычисление определенного интеграла