Лекции по математике
Криволинейный интеграл
Векторное поле
Вычисление пределов
Примеры решения задач
Поверхностный интеграл
Решение типовых задач
Производная функции
Интегрирование по частям
Двойной интеграл
Тройной интеграл
Карта сайта

Решение задач контрольной по математике. Типовые и курсовые расчеты

Вычисление интеграла ФНП. Решение типовых задач

Вычисление интеграла  рассмотрим подробно в зависимости от  и .

Вычисление определенного интеграла основано на следующих утверждениях, имеющих и самостоятельное значение.

Пусть функция  задана на , . Тогда интеграл  можно назвать "определенным интегралом с переменным верхним пределом", ,  – переменная интегрирования;
он является некоторой функцией верхнего предела, .

Теорема (о дифференцируемости  на )

Если   непрерывна на , то  дифференцируема на , причем  .

Доказательство. Пусть , : . Тогда

, здесь применено свойство о среднем значении непрерывной на  функции ,  – точка, расположенная между  и .

Далее рассмотрим отношение  при , получаем

.

Поскольку  – произвольная точка отрезка , то  
существует для каждого   из , т.е.  – дифференцируемая на  и

.

Замечания.  1. Из представления  следует
непрерывность   в точке  и в силу произвольности точки  – непрерывность   на .

Можно показать [1], что для непрерывности функции  достаточно потребовать интегрируемость (по Риману) подынтегральной функции  на .

2. Для подынтегральной функции  определенный интеграл с переменным верхним пределом определяет
первообразную на .

В частности, теорема задает достаточное условие существования неопределенного интеграла .

ПРИМЕР 1. Вычислить интеграл .

Решение.

.

Замена переменной интегрирования в определенном интеграле проводится соответственно следующей теореме.

ПРИМЕР 2. Вычислить интеграл .

Решение. Введем замену переменной , где , ; ; ;  на ; , .

Получаем

.

2) Среднее значение интеграла, оценка интеграла

ПРИМЕР 3. Для криволинейной трапеции, ограниченной осью , прямыми  и , кривой , найти равновеликий прямоугольник с основанием   на .

Решение. Высотой такого прямоугольника является отрезок длиной

 

.

ПРИМЕР 4. Оценить интеграл .

Решение. Подынтегральная функция  – убывающая на , поскольку  на . Поэтому  и . Точное значение интеграла можно найти, но вычисления сопровождаются громоздким счетом:

  или .

Откуда

.

Видим, что полученная оценка интеграла является грубой,
поскольку промежуток интегрирования  "достаточно велик".

3) Вычисление площади плоской фигуры

а) Площадь фигуры в декартовых координатах

 

ПРИМЕР 5. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями  и .

Решение. В п. 2.5 приведена формула для вычисления площади подобной фигуры. Проектируем фигуру (см. рисунок) на ось  и вычисляем

.

Итак, площадь фигуры .

ПРИМЕР 6. Вычислить площадь фигуры, ограниченной эллипсом .

Решение. Используем симметрию фигуры и вычислим площадь  части фигуры (в I квадранте):   Получаем

.

Итак, площадь эллипса .

 

б) Площадь плоской фигуры в полярных координатах

 

На плоскости можно рассмотреть полярную систему координат . Тогда точке  соответствуют координаты  и , предполагаем полуоси  и  () совпадающими; причем  положительное
направление угла   – против вращения часовой стрелки.

Фигура на плоскости, ограниченная лучами ,  () и кривой , , называется криволинейным сектором. Очевидно, при   имеет круговой сектор и его площадь . Поэтому если провести процедуру построения интегральной суммы  для разбиения , ,  и системы точек , то при , где , , придем к интегралу , который можно
интерпретировать как площадь криволинейного сектора.

Итак, если предел интегральной суммы, построенной по указанной процедуре, существует, то площадь криволинейного сектора можно вычислить по формуле

.

ПРИМЕР 7. Найти площадь фигуры, ограниченной лемнискатой
Бернулли  и окружностью   (внутри
окружности).

Решение. Лемниската существует при , т.е. для  или для ; периодически повторяется для . Симметрия кривой следует из четности функции . При , изменяющемся от  до , значение  убывает от  до , т.е. значение  убывает от  до  () (см. рисунок). Пересечение лемнискаты и окружности 

 имеем при   и по
симметрии при .

Для вычисления площади используем симметрию фигуры ;  – площадь фигуры в I квадранте. Фигура  – объединение двух криволинейных секторов и поэтому

.

Окончательно имеем .

4) Вычисление объема тела

Пусть в пространстве задано тело, проекцией которого на ось  является отрезок  и при любом , , известно значение площади "поперечного" сечения тела плоскостью  . Тогда объем этого тела можно получить, переходя от интегральной суммы  к
интегралу .

Обратная функция , ее свойства ПРИМЕР. Для функции найти обратную функцию; рассмотреть графики прямой и обратной функций.

ПРИМЕР. Вычислить производную функции  на ОДЗ. РЕШЕНИЕ. Можно дифференцировать последовательно: сначала логарифмированную функцию, затем по формулам производной дроби и произведения. На проще сначала выражение прологарифмировать, а затем уже дифференцировать.

Правило Лопиталя применяется только для раскрытия неопределенностей. ПРИМЕР.  – здесь нет неопределенности, правило Лопиталя не применимо; в точке  функция непрерывная и предел ее при  равен значению функции в предельной точке.


1prostitutki-smolenska.com/ - горячие шлюхи Смоленска | Самые неповторимые индивидуалки проститутки Сочи
Вычисление определенного интеграла