Лекции по математике
Криволинейный интеграл
Векторное поле
Вычисление пределов
Примеры решения задач
Поверхностный интеграл
Решение типовых задач
Производная функции
Интегрирование по частям
Двойной интеграл
Тройной интеграл
Карта сайта

Решение задач контрольной по математике. Типовые и курсовые расчеты

 

Предел и непрерывность функции обной переменной

ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ ПРИ

Понятие предела функции  при , стремящемся к  (сокр. ), является основным понятием математического анализа. Оно характеризует поведение функции  вблизи точки , т.е. существование предела и его значение определяют локальное свойство .

Для математического описания  требуются специальные термины. Введем их.

Множество  – окрестность конечной точки , , радиуса  (сокр.  – –окрестность точки ); очевидно, что .

Множество  будем называть "выколотой" или "проколотой" –окрестностью точки  и обозначать ; очевидно, что .

Множество  –  – окрестность беско-нечности; расширяем множество всех действительных чисел символом ,
создавая возможность . Очевидно, что .

Заметим, что пересечение двух окрестностей одной и той же точки – снова окрестность этой же точки, а именно

, где ;

, где .

Точка   называется предельной точкой множества , , если в любой ее окрестности содержится хотя бы одна точка из
множества , отличная от , т.е.

( – предельная точка для )  ().

Если   – предельная точка множества , то в  (,
  – произвольное число) можно построить последовательность , , сходящуюся к  ( при ). Для
этого выбираем точки по определению:

;

;

 и т.д.

Заметим, что предельная точка множества может принадлежать множеству, а может и не принадлежать ему. Например, для  каждая его точка предельная, причем  также предельная точка этого множества, но .

Далее будем рассматривать функцию , ;  – предельная точка множества .

ОПРЕДЕЛЕНИЕ предела функции (по Коши)

Пусть  – конечная точка или ;  – конечное число или . Тогда

,

т.е.  есть предел функции   при  тогда и только тогда, когда для всякого положительного числа  умеем указывать (найдется, существует) число  такое, что для каждого значения , , из  – окрестности точки  соответствующее значение функции  принадлежит  – окрестности .

Подчеркнем, что здесь речь идет о положительно-значной функции , определенной на множестве .

Замечания: 1. В определении предела значение функции в точке   не участвует, поэтому функция   в точке  может быть не определена (не задана).

2. Функция  находится не единственным образом: например, если   удовлетворяет определению предела
при   – к.ч., то всякая функция  на  также может быть использована.

Для доказательства наличия конечного или бесконечного предела функции при   важен лишь факт существования   при всяком  с нужными свойствами.

3. Определение предела (по Коши) на языке окрестностей может быть расшифровано в зависимости от значений  и  и структуры окрестностей.

border-left:none;padding:0cm 5.4pt 0cm 5.4pt'>

border-left:none;padding:0cm 5.4pt 0cm 5.4pt'>

Геометрическая

иллюстрация

  – конечная точка;  – ко-нечное число. Конечный предел в конечной точке

border-bottom:solid windowtext 1.0pt;border-right:solid windowtext 1.0pt; padding:0cm 5.4pt 0cm 5.4pt;height:97.8pt'>

,

   – конечная точка; . Бесконечный предел в ко-нечной точке, т.е.  – бесконечно-большая при

,

  ,  – конечное чис-ло. Конечный предел в бесконечности<

,

, . Бесконечный предел в бесконечности, т.е.  – бесконечно-большая при

,

Замечание. Числовая последовательность – множество значений функции, определенной на множестве всех натуральных чисел, записанное в порядке возрастания , т.е.

.

Поэтому предел последовательности можно изучать при .

Возможны ситуации:

последовательность при  имеет конечный предел;

бесконечно большая последовательность при .

Для удобства изучения и геометрического представления последовательности обычно переобозначают   и последовательность  изображают точками на числовой оси.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ конечного предела последовательности

,

т.е. последовательность имеет конечный предел при  (сходится) тогда и только тогда, когда для всякого положительного числа   можно указать номер (значение ), начиная с которого все  удалены от числа  меньше чем на  (все члены последовательности  с номерами, большими , лежат в , вне  расположено лишь конечное множество членов последовательности).

ОПРЕДЕЛЕНИЕ  бесконечно большой последовательности

.

Теория сходящихся последовательностей и свойств б/б последовательностей – частный случай соответствующих вопросов для функции в общем случае.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ предела функции (по Гейне)

Пусть ,  – предельная точка множества . Тогда

,

т.е.  есть предел функции при   тогда и только тогда, когда для всякой последовательности аргументов функции, состоящей из точек множества , отличных от , и сходящейся к , соответствующая последовательность значений функции имеет пределом .

Доказано (см. [1]), что определения предела по Коши и по Гейне эквивалентны, т.е. если согласно определению (по Коши) , то и соответственно определению (по Гейне) , и наоборот.

Итак, последовательность – средство изучения поведения функции. Но для доказательства существования предела нужно убедиться, что для всякой последовательности   аргументов, сходящейся к , последовательность  сходится к одному и тому же пределу (или к ). Поскольку таких последовательностей  бесконечное множество, то перебрать их все, в общем-то, трудно. Поэтому определение предела функции по Гейне чаще используется для установления отсутствия конечного предела функции
при .

Аналогично всякая последовательность может быть изучена с помощью ее ПОДПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ  (подпоследовательности)

Пусть   – произвольная числовая последовательность.

Пусть   функция такая, что

 определена для ;

;

  возрастающая (строго) функция, т.е.

  .

Тогда множество  элементов исходной последовательности, выделенных с помощью закономерности номеров , образует подпоследовательность  исходной последовательности.

Всякая последовательность имеет бесконечное множество
подпоследовательностей, например, ,, и т.д.

Если последовательность сходится, то и любая ее подпоследовательность сходится к тому же пределу.

Если последовательность бесконечно большая, то и любая ее подпоследовательность также бесконечно большая.

Обратные утверждения тоже верны, но не эффективны для изучения поведения последовательности. Поэтому используются обычно теоремы, в которых информация о поведении конечного множества подпоследовательностей позволяет устанавливать свойства
исходной последовательности.

УТВЕРЖДЕНИЕ (достаточное условие сходимости). Если для произвольной последовательности  ее подпоследователь-ности  и  сходятся, и их пределы совпадают, то
исходная последовательность  сходится к общему значению пределов указанных подпоследовательностей, т.е. ;

.

Доказательство:

,

.

Отсюда для всех  имеем ,
поскольку целое число либо четное, либо нечетное.

УТВЕРЖДЕНИЕ  (достаточное условие "расходимости" последовательности)

Если для произвольной последовательности либо какая-либо ее подпоследовательность не сходится (расходится), либо существуют две ее подпоследовательности, сходящиеся к различным пределам, то сама последовательность расходится.

Типовое задание – показать по определению  – 
в конкретном случае удобно решать по схеме:

рассматриваем произвольное ;

ищем   так, чтобы ;

для этого вычисляем, при каких значениях  выполняется соотношение , и строим функцию  с нужными свойствами;

записываем вывод.


Вычисление определенного интеграла