На главную v-garant.ru
Метод замены переменной Интегрирование по частям Вычислить криволинейный интеграл Поверхностный интеграл Функции комплексной переменной Функции нескольких переменных Векторное поле Решение типовых задач

Решение задач контрольной по математике. Типовые и курсовые расчеты

Теоремы о пределах о свойствах функций, имеющих конечные пределы

ТЕОРЕМА (о единственности предела)

Пусть произвольная функция  определена в некоторой
окрестности точки , .

Тогда если функция  при  имеет конечный предел, то он единственный, т.е.

.

Доказательство методом от противного

Предположим . Тогда

,

в частности и при ;

,

в частности и при .

Отсюда на  имеем

  – неверное числовое неравенство.

Вывод: предположение о существовании не единственного
предела – ложное. Теорема доказана.

Частный случай (для последовательности)

.

Если предположить наличие двух различных пределов, то можно указать непересекающиеся окрест-ности этих пределов, в которые должны попадать одновременно ВСЕ
члены последовательности, начиная с некоторого.

ТЕОРЕМА (о локальной ограниченности функции, имеющей
при   конечный предел)

,

т.е. если функция при  имеет конечный предел, то существует окрестность точки , на которой множество значений функции  есть ограниченное числовое множество.

Доказательство. Поскольку к.ч., то для любого , в том числе для , существует  так, что для  , т.е. , где   или .

Заметим, что обратное утверждение неверно, т.е. если функция  локально ограничена на , то необязательно существует  и равен конечному значению.

Контрпример. Функция  имеет множество значений  – ограниченное множество в любой окрестности точки , но  не существует.

Заметим, что функция, имеющая в точке конечный предел, а значит, локально ограниченная в окрестности этой точки, может быть неограниченной на своей области существования. Например,  для .

Функция   бесконечно большая при  является неограниченной в любой окрестности . Обратное неверно, т.е. неограниченная в  функция  не обязательно бесконечно большая при . Например,  .

Частный случай (для последовательности):

всякая сходящаяся последовательность является ограниченной, т.е.


Контрпример.   – ограниченная последователь-ность, но не является сходящейся, поскольку ее подпосле-довательности  и   сходятся к несовпадающим пределам.

Итак, теорема о локальной ограниченности является "односторонней" теоремой и выражает НЕОБХОДИМОЕ условие существования конечного предела функции (и последовательности).

Следующая серия утверждений описывает связь между соотношениями для функций и их пределов.

ТЕОРЕМА (о переходе к пределу в равенстве)

Если   на  и существует , то существует  и .

ПРИМЕР. Поскольку  для  и , то .

ТЕОРЕМА (о переходе к пределу в неравенстве)

Если  или   на  и существуют  – к.ч. и  – к.ч., то .

Доказательство можно провести методом от противного.
Рекомендуем провести самостоятельно.

ТЕОРЕМА (о перенесении неравенства между пределами на функции)

Если существуют пределы  и  и выполняется неравенство , то существует окрестность ,
на которой .

Доказательство. Имеем

,

в частности, при   :  , т.е. . Аналогично

,

в частности, при   , т.е.  или .

Поскольку при  , то на пересечении окрестностей  имеем , т.е. указали окрестность , на которой характер неравенства между пределами переносится на функции.

Следствие. Если  – конечное число и , то можно указать окрестность , на которой .

ТЕОРЕМА (о пределе промежуточной функции)

Если  на   и существуют  и  и их значения конечны и равны, то существует предел промежуточной функции  и его значение совпадает со значением пределов оценивающих слева и справа функций.

Доказательство рекомендуем построить самостоятельно,
используя определение предела по Коши для функций  и  при .

ТЕОРЕМА (об арифметике функций, имеющих конечный предел в одной и той же точке)

Пусть функции  и  при  имеют конечные пределы, т.е. , ,  и  – конечные числа.

Тогда при  имеет конечный предел каждая из функций:

1) ;  2) ; 3)  (при ).

Доказательство. 1. Операция сложения функций определяется поточечно. Утверждение верно для произвольного конечного
множества функции. Здесь рассматривается сумма двух функций.

Имеем , т.е. для всякого  (в частности, для ) существует   так, что  .

Аналогично ()(, ).

Рассмотрим и оценим: 

на .

Итак,   , т.е. по определению предела  – конечное
число, причем предел СУММЫ функций равен СУММЕ пределов слагаемых функций, если предел каждой слагаемой функции – конечное число.

Заметим, что обратное утверждение неверно, т.е. существование конечного предела суммы функций не определяет существование предела каждого слагаемого.

Контрпример. Пусть , , тогда . Но сумма функций может быть представлена слагаемыми (неоднозначно), например в виде  и , и пределы слагаемых при  не являются конечными числами (не существуют).

2. Представим

.

Имеем  – конечное число, поэтому   – локально ограничена, т.е. .

Исходя из определения конечного предела при  имеем также  .

При   оценивать второе слагаемое в представлении не
требуется. При   расшифруем

.

Получаем на окрестности  , и по определению предела

.

Итак, предел ПРОИЗВЕДЕНИЯ функций равен ПРОИЗВЕДЕНИЮ пределов функций, если предел каждой функции в произведении – конечное число.

Обратное утверждение неверно.

Контрпример. Пусть , , тогда . Но произведение функций может быть представлено сомножителями неоднозначно, например  и , и тогда предел сомножителя  не является конечным.


Вычисление определенного интеграла