Лекции по математике
Криволинейный интеграл
Векторное поле
Вычисление пределов
Примеры решения задач
Поверхностный интеграл
Решение типовых задач
Производная функции
Интегрирование по частям
Двойной интеграл
Тройной интеграл
Карта сайта

Решение задач контрольной по математике. Типовые и курсовые расчеты

Теоремы о пределах о свойствах функций, имеющих конечные пределы

ТЕОРЕМА (о единственности предела)

Пусть произвольная функция  определена в некоторой
окрестности точки , .

Тогда если функция  при  имеет конечный предел, то он единственный, т.е.

.

Доказательство методом от противного

Предположим . Тогда

,

в частности и при ;

,

в частности и при .

Отсюда на  имеем

  – неверное числовое неравенство.

Вывод: предположение о существовании не единственного
предела – ложное. Теорема доказана.

Частный случай (для последовательности)

.

Если предположить наличие двух различных пределов, то можно указать непересекающиеся окрест-ности этих пределов, в которые должны попадать одновременно ВСЕ
члены последовательности, начиная с некоторого.

ТЕОРЕМА (о локальной ограниченности функции, имеющей
при   конечный предел)

,

т.е. если функция при  имеет конечный предел, то существует окрестность точки , на которой множество значений функции  есть ограниченное числовое множество.

Доказательство. Поскольку к.ч., то для любого , в том числе для , существует  так, что для  , т.е. , где   или .

Заметим, что обратное утверждение неверно, т.е. если функция  локально ограничена на , то необязательно существует  и равен конечному значению.

Контрпример. Функция  имеет множество значений  – ограниченное множество в любой окрестности точки , но  не существует.

Заметим, что функция, имеющая в точке конечный предел, а значит, локально ограниченная в окрестности этой точки, может быть неограниченной на своей области существования. Например,  для .

Функция   бесконечно большая при  является неограниченной в любой окрестности . Обратное неверно, т.е. неограниченная в  функция  не обязательно бесконечно большая при . Например,  .

Частный случай (для последовательности):

всякая сходящаяся последовательность является ограниченной, т.е.


Контрпример.   – ограниченная последователь-ность, но не является сходящейся, поскольку ее подпосле-довательности  и   сходятся к несовпадающим пределам.

Итак, теорема о локальной ограниченности является "односторонней" теоремой и выражает НЕОБХОДИМОЕ условие существования конечного предела функции (и последовательности).

Следующая серия утверждений описывает связь между соотношениями для функций и их пределов.

ТЕОРЕМА (о переходе к пределу в равенстве)

Если   на  и существует , то существует  и .

ПРИМЕР. Поскольку  для  и , то .

ТЕОРЕМА (о переходе к пределу в неравенстве)

Если  или   на  и существуют  – к.ч. и  – к.ч., то .

Доказательство можно провести методом от противного.
Рекомендуем провести самостоятельно.

ТЕОРЕМА (о перенесении неравенства между пределами на функции)

Если существуют пределы  и  и выполняется неравенство , то существует окрестность ,
на которой .

Доказательство. Имеем

,

в частности, при   :  , т.е. . Аналогично

,

в частности, при   , т.е.  или .

Поскольку при  , то на пересечении окрестностей  имеем , т.е. указали окрестность , на которой характер неравенства между пределами переносится на функции.

Следствие. Если  – конечное число и , то можно указать окрестность , на которой .

ТЕОРЕМА (о пределе промежуточной функции)

Если  на   и существуют  и  и их значения конечны и равны, то существует предел промежуточной функции  и его значение совпадает со значением пределов оценивающих слева и справа функций.

Доказательство рекомендуем построить самостоятельно,
используя определение предела по Коши для функций  и  при .

ТЕОРЕМА (об арифметике функций, имеющих конечный предел в одной и той же точке)

Пусть функции  и  при  имеют конечные пределы, т.е. , ,  и  – конечные числа.

Тогда при  имеет конечный предел каждая из функций:

1) ;  2) ; 3)  (при ).

Доказательство. 1. Операция сложения функций определяется поточечно. Утверждение верно для произвольного конечного
множества функции. Здесь рассматривается сумма двух функций.

Имеем , т.е. для всякого  (в частности, для ) существует   так, что  .

Аналогично ()(, ).

Рассмотрим и оценим: 

на .

Итак,   , т.е. по определению предела  – конечное
число, причем предел СУММЫ функций равен СУММЕ пределов слагаемых функций, если предел каждой слагаемой функции – конечное число.

Заметим, что обратное утверждение неверно, т.е. существование конечного предела суммы функций не определяет существование предела каждого слагаемого.

Контрпример. Пусть , , тогда . Но сумма функций может быть представлена слагаемыми (неоднозначно), например в виде  и , и пределы слагаемых при  не являются конечными числами (не существуют).

2. Представим

.

Имеем  – конечное число, поэтому   – локально ограничена, т.е. .

Исходя из определения конечного предела при  имеем также  .

При   оценивать второе слагаемое в представлении не
требуется. При   расшифруем

.

Получаем на окрестности  , и по определению предела

.

Итак, предел ПРОИЗВЕДЕНИЯ функций равен ПРОИЗВЕДЕНИЮ пределов функций, если предел каждой функции в произведении – конечное число.

Обратное утверждение неверно.

Контрпример. Пусть , , тогда . Но произведение функций может быть представлено сомножителями неоднозначно, например  и , и тогда предел сомножителя  не является конечным.


Вычисление определенного интеграла