Лекции по математике
Криволинейный интеграл
Векторное поле
Вычисление пределов
Примеры решения задач
Поверхностный интеграл
Решение типовых задач
Производная функции
Интегрирование по частям
Двойной интеграл
Тройной интеграл
Карта сайта

Решение задач контрольной по математике. Типовые и курсовые расчеты

Существование предела частного функций  доказывается аналогично, если предварительно установить ограниченность функции  на некоторой окрестности .

Теорема задает лишь ДОСТАТОЧНЫЕ условия существования предела суммы, произведения и частного функций при ; может быть применена для вычисления пределов функций.

Свойства бесконечно больших (б/б) и

бесконечно малых (б/м) функций

ОПРЕДЕЛЕНИЕ (б/м функции  при )

Функция , ,  называется бесконечно малой при  (сокр. б/м), если при  она имеет нулевой, а значит, конечный предел, т.е.

( – б/м при ).

Например,  – б/м при ; заметим, что одновременно  – б/б при .

ТЕОРЕМА (об арифметике б/м функций в одной и той же точке)

Если  и   – бесконечно малые функции при , то сумма  – б/м при ;

произведение  – б/м при .

Отношение бесконечно малых  при  требует специального рассмотрения.

СРАВНЕНИЕ б/м функций при  приводит к различным возможным ситуациям, которые схематично можно описать соотношением

Здесь символ  читается " малое от ", и означает, что при   ( – б/м при ) и  какая-либо бесконечно малая при  функция , такая, что  при ; говорят, " – б/м при  большего
порядка по сравнению с б/м .

Например, если  – б/м при , то , поскольку .

ПРИМЕР.   – б/м при ;  – б/м при . Сравним эти б/м, вычисляя  Очевидно, что этот предел не существует и б/м не сравниваются при .

Подчеркнем, что сравнение бесконечно малых приводит к неоднозначному ответу, т.е. имеем дело с НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЬЮ. Вычисление предела  или доказательство его отсутствия в этом случае называем "раскрытием" неопределенности.

ПЕРВЫЙ ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЙ  ПРЕДЕЛ .

Сравниваем две б\м при  функции и устанавливаем их
эквивалентность .

Доказательство. Функция  – четная на , поэтому рассматриваем на . Из геометрических соображений (известно

из школы) , т.е.   на  или  на .

Далее используем теорему о пределе промежуточной функции, поскольку  – показано ранее.

ТЕОРЕМА (о представлении функции, имеющей конечный
предел при )

Для того чтобы функция  имела при  конечный
предел , необходимо и достаточно, чтобы функция   была бесконечно малой при .

Символическая запись: 

.

Доказательство  рекомендуем провести самостоятельно. Оно следует из применения определения конечного предела функции.

В теореме указано необходимое и (одновременно) достаточное условие существования конечного предела функции, поэтому она – КРИТЕРИЙ существования конечного предела функции при .

ТЕОРЕМА (о произведении б/м на ограниченную функцию)

Произведение функции б/м при  на функцию, ограниченную на , есть функция б/м при .

Доказательство. Пусть  – ограниченная на  функция,, т.е. .

Пусть   – б/м при , т.е.

.

Тогда на окрестности  верно неравенство

.

Итак, , т.е. .

ПРИМЕР. , поскольку   – б/м последовательность,  – ограниченная последовательность.

Обратное утверждение неверно.

Контрпример.  – б/м при , но , и здесь  не является ограниченной в .

ТЕОРЕМА (о связи б\м и б\б)

Пусть  в . Тогда ( – б/м при )

  ( – б/б при ).

Доказать самостоятельно.

ПРИМЕР. Последовательность  может быть преобразована к виду , и тогда  вычисляется с помощью арифметических действий над бесконечно малыми последовательностями.

Арифметика бесконечно больших функций (последовательностей), как правило, приводит к неопределенностям, их иногда удается раскрыть, используя расширенную теорему о связи б/м и б/б).

конечным.


Вычисление определенного интеграла