Лекции по математике
Криволинейный интеграл
Векторное поле
Вычисление пределов
Примеры решения задач
Поверхностный интеграл
Решение типовых задач
Производная функции
Интегрирование по частям
Двойной интеграл
Тройной интеграл
Карта сайта

Решение задач контрольной по математике. Типовые и курсовые расчеты

Односторонние пределы

Пусть ,  – конечная точка. Тогда

называется левосторонним пределом функции при  (предел слева) и обозначается .

Аналогично правосторонний предел (предел справа)

.

ТЕОРЕМА (критерий существования конечного предела в точке)

;

.

Доказательство. (

.

Отсюда следует выполнимость требуемых соотношений для
существования .

()  Имеем

;

.

Поэтому на , где ,
выполняется условие , т.е. существует  и его значение равно .

ТЕОРЕМА Вейерштрасса . Пусть  задана на . Если  возрастает на , то .

Если   убывает на , то

,

.

Теорема описывает достаточно большое число различных случаев – функция может быть ограниченной и неограниченной, различного характера монотонности на , предельные точки  и  могут быть конечными точками или , .

Рассмотрим и докажем утверждение: ;

,

т.е. если функция  возрастает и ограничена сверху на , то при  существует конечный предел функции,
равный .

Доказательство. Обозначим . Тогда из ограниченности множества  и определения верхней грани
числового множества имеем:

1) ;

2) ,

т.е. .

В силу возрастания  на  для всякого  имеем .

Итак, , т.е. по определению левостороннего предела получаем .

Аналогично доказывается теорема для убывающей и ограниченной снизу на  функции, получаем .

Частный случай (для последовательности)

Всякая монотонная и ограниченная последовательность является сходящейся.


Вычисление определенного интеграла