Лекции по математике
Криволинейный интеграл
Векторное поле
Вычисление пределов
Примеры решения задач
Поверхностный интеграл
Решение типовых задач
Производная функции
Интегрирование по частям
Двойной интеграл
Тройной интеграл
Карта сайта

Решение задач контрольной по математике. Типовые и курсовые расчеты

Второй замечательный предел .

Рассмотрим последовательность . Покажем, что последовательность возрастает и ограничена сверху.

Используя формулу бинома Ньютона

,

имеем

.

При   возрастающем растет число слагаемых, остающихся
положительными, причем каждое слагаемое не уменьшается, т.е. последовательность   – возрастающая (сокр. ).

Если оценить единицей каждый множитель вида  каждого слагаемого, то получим 

,

т.е. последовательность ограничена сверху.

По теореме Вейерштрасса существует конечный предел
рассмотренной последовательности; его значение обозначают
через . Вычисления показывают, что  – иррациональное число и .

Модификации второго замечательного предела

могут быть обоснованы.

Заметим, что второй замечательный предел раскрывает неопределенность вида , т.е. для степенно показательной функции   может быть применен, если основание  и показатель  при  (одновременно).

2.3. НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ В ТОЧКЕ

ОПРЕДЕЛЕНИЕ (непрерывность в точке). Пусть функция  
задана на , . Тогда

( – непрерывна в точке ) .

Итак, непрерывность в точке функции предполагает задание функции в самой точке   (конечная точка) и в некоторой ее окрестности, при этом должны выполняться условия:

существование конечного предела функции в конечной точке;

значение предела совпадает со значением функции в этой точке.

Понятие точки разрыва функции

Пусть , , . Тогда если точка  не является точкой непрерывности функции , то она – точка разрыва функции. При  или  также возможен "разрыв" слева или справа функции
(см. рисунок), если   рассматривается на .

Условия непрерывности функции в точке могут нарушаться в следующих ситуациях (классификация точек разрыва):

, но ;  – точка устранимого разрыва; на рисунке это точки , ;

, , но ;  – точка разрыва первого рода;  – скачок функции в точке ; на рисунке это точка , , ;

  – точка разрыва второго рода в остальных случаях; на рисунке это точки  и .

Свойства (локальные) функции, непрерывной в точке, можно перефразировать, исходя из соответствующих теорем о функциях, имеющих конечный предел в конечной точке. Перечислим некоторые из них.

Непрерывная в точке функция локально ограничена.

Арифметические операции: сложение, разность и произведение конечного множества непрерывных в одной и той же точке функций – определяют функцию, непрерывную в той же точке. Деление непрерывных функций определяет
непрерывную функцию в любой точке, кроме нулей знаменателя.

Именно поэтому целая рациональная функция (многочлен)  – всюду непрерывная функция; дробно-рациональная функция  в любой точке, кроме нулей знаменателя, непрерывна. Можно доказать, что всякая элементарная функция непрерывна в каждой точке своей области существования.
Например,   – непрерывна в любой точке . Если функцию  доопределить в точках  каким-либо значением, например рассмотреть  то функция  имеет точки разрыва второго рода при .

3. Утверждение о сохранении знака

Если функция  непрерывна в точке  и , то существует окрестность , в каждой точке которой  при .

Доказательство. Пусть для определенности ;
тогда, используя определение непрерывности функции в
точке , имеем

, т.е. .

Итак, в любой точке построенной окрестности  .

Аналогичные рассуждения при .

4. Непрерывность сложной функции

Пусть , , множества  – числовые множества. Тогда функция  называется СЛОЖНОЙ функцией, реализующей следующие отображения:

.

Если 1)  – непрерывна в точке ;

  2)  – непрерывна в точке ,

то сложная функция  непрерывна в точке .

В самом деле,

.

Здесь использовано свойство непрерывности компонент
сложной функции.


Вычисление определенного интеграла