На главную v-garant.ru
Метод замены переменной Интегрирование по частям Вычислить криволинейный интеграл Поверхностный интеграл Функции комплексной переменной Функции нескольких переменных Векторное поле Решение типовых задач

Решение задач контрольной по математике. Типовые и курсовые расчеты

Второй замечательный предел .

Рассмотрим последовательность . Покажем, что последовательность возрастает и ограничена сверху.

Используя формулу бинома Ньютона

,

имеем

.

При   возрастающем растет число слагаемых, остающихся
положительными, причем каждое слагаемое не уменьшается, т.е. последовательность   – возрастающая (сокр. ).

Если оценить единицей каждый множитель вида  каждого слагаемого, то получим 

,

т.е. последовательность ограничена сверху.

По теореме Вейерштрасса существует конечный предел
рассмотренной последовательности; его значение обозначают
через . Вычисления показывают, что  – иррациональное число и .

Модификации второго замечательного предела

могут быть обоснованы.

Заметим, что второй замечательный предел раскрывает неопределенность вида , т.е. для степенно показательной функции   может быть применен, если основание  и показатель  при  (одновременно).

2.3. НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ В ТОЧКЕ

ОПРЕДЕЛЕНИЕ (непрерывность в точке). Пусть функция  
задана на , . Тогда

( – непрерывна в точке ) .

Итак, непрерывность в точке функции предполагает задание функции в самой точке   (конечная точка) и в некоторой ее окрестности, при этом должны выполняться условия:

существование конечного предела функции в конечной точке;

значение предела совпадает со значением функции в этой точке.

Понятие точки разрыва функции

Пусть , , . Тогда если точка  не является точкой непрерывности функции , то она – точка разрыва функции. При  или  также возможен "разрыв" слева или справа функции
(см. рисунок), если   рассматривается на .

Условия непрерывности функции в точке могут нарушаться в следующих ситуациях (классификация точек разрыва):

, но ;  – точка устранимого разрыва; на рисунке это точки , ;

, , но ;  – точка разрыва первого рода;  – скачок функции в точке ; на рисунке это точка , , ;

  – точка разрыва второго рода в остальных случаях; на рисунке это точки  и .

Свойства (локальные) функции, непрерывной в точке, можно перефразировать, исходя из соответствующих теорем о функциях, имеющих конечный предел в конечной точке. Перечислим некоторые из них.

Непрерывная в точке функция локально ограничена.

Арифметические операции: сложение, разность и произведение конечного множества непрерывных в одной и той же точке функций – определяют функцию, непрерывную в той же точке. Деление непрерывных функций определяет
непрерывную функцию в любой точке, кроме нулей знаменателя.

Именно поэтому целая рациональная функция (многочлен)  – всюду непрерывная функция; дробно-рациональная функция  в любой точке, кроме нулей знаменателя, непрерывна. Можно доказать, что всякая элементарная функция непрерывна в каждой точке своей области существования.
Например,   – непрерывна в любой точке . Если функцию  доопределить в точках  каким-либо значением, например рассмотреть  то функция  имеет точки разрыва второго рода при .

3. Утверждение о сохранении знака

Если функция  непрерывна в точке  и , то существует окрестность , в каждой точке которой  при .

Доказательство. Пусть для определенности ;
тогда, используя определение непрерывности функции в
точке , имеем

, т.е. .

Итак, в любой точке построенной окрестности  .

Аналогичные рассуждения при .

4. Непрерывность сложной функции

Пусть , , множества  – числовые множества. Тогда функция  называется СЛОЖНОЙ функцией, реализующей следующие отображения:

.

Если 1)  – непрерывна в точке ;

  2)  – непрерывна в точке ,

то сложная функция  непрерывна в точке .

В самом деле,

.

Здесь использовано свойство непрерывности компонент
сложной функции.


Вычисление определенного интеграла