Лекции по математике
Криволинейный интеграл
Векторное поле
Вычисление пределов
Примеры решения задач
Поверхностный интеграл
Решение типовых задач
Производная функции
Интегрирование по частям
Двойной интеграл
Тройной интеграл
Карта сайта

Решение задач контрольной по математике. Типовые и курсовые расчеты

Обратная функция , ее свойства

Подпись:  ПРИМЕР. Для функции найти обратную функцию; рассмотреть графики прямой и обратной функций.

РЕШЕНИЕ. Обозначим , ; из этого уравнения находим ; видим при этом, что для всякого  существует единственное значение , т.е. – обратная функция. Графики функций и совпадают; это прямая . Заметим, что имеем тождества и на .

Для обратной функции проводим переобозначение
переменных:   заменяем на ,  заменяем на , получаем – функцию, у которой независимая переменная изображается на оси , а значение функции – на оси .

В нашем примере переобозначение переменных приводит к функции , её график симметричен графику исходной функции относительно прямой (см. рисунок).

Итак, для нахождения обратной функции для , следует решить (если возможно) уравнение   относительно , , а затем переобозначить переменные.

Функции и называются взаимно-обратными, их графики симметричны относительно прямой .

Достаточное условие существования обратной функции:

если 1)  – непрерывна на промежутке ;

2)   – строго возрастает (или строго убывает) на промежутке ,

то на соответствующем промежутке значений функции  существует однозначная обратная функция , , , также непрерывная на  и строго монотонная на  (с сохранением характера монотонности).

Доказательство этого утверждения приведено подробно,
например, в [2].

Замечаем, что в условиях утверждения свойства "прямой"
(исходной) функции переносятся на обратную функцию.

Дифференцируемость обратной функции:

если 1) функция  обратима в некоторой окрестности
точки , ; , ;

 2) функция  дифференцируема в точке , т.е. существует ,

то для обратной функции  существует производная  и выполняется равенство  или .

В самом деле, рассмотрим отношение  при  – произ-вольном, , ; получаем

.

Поскольку  – непрерывна в точке  (следует из ее дифференцируемости в точке ), то и обратная функция  – непрерывна в соответствующей точке , т.е.  и  одновременно. И тогда существование предела  определяет существование предела , причем  (по теореме о переходе к пределу в равенстве).

Формула дифференцирования обратной функции

предполагает выполнимость условий рассмотренной теоремы в
точке , а также равенства: ; ; ,  на ;  на .

3.3. ФОРМУЛЫ ПРОИЗВОДНЫХ КОНКРЕТНЫХ ФУНКЦИЙ

Степенная функция , ,  – любое.

.

Итак, .

Для сложной степенной функции имеем формулу производной

или для запоминания

.

Показательная функция ,  – любое.

,

поскольку

.

Итак, .

Для сложной показательной функции имеем  или в более короткой записи

.

Для , ,  – любое, имеем

;

а также

.

Логарифмическая функция .

Для функции  обратная функция есть , .

По правилу дифференцирования обратной функции имеем . Отсюда . Итак, .

Для сложной логарифмической функции

или в сокращенной записи

.

Для  имеем соответственно

,

или  ,

или .

Для   – степенно-показательной функции можно вычислить производную так:

, т.е. производная степенно-показательной функции состоит из двух слагаемых – результатов дифференцирования исходной функции как степенной и как показательной функций.

Для ,  – любое число, ОДЗ, имеем

.

Итак,  или , т.е. подтвердили формулу производной степенной функции, ранее рассмотренной при натуральной степени, для произвольного показателя .

Заметим, что в приведенном здесь счете демонстрируется так называемое ЛОГАРИФМИЧЕСКОЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ.


Вычисление определенного интеграла