Правило Лопиталя применяется только для раскрытия неопределенностей.
ПРИМЕР.
– здесь нет неопределенности, правило Лопиталя не применимо; в точке
функция непрерывная и предел ее при
равен значению функции в предельной точке.
3. При применении правила Лопиталя дифференцируется
числитель и знаменатель дроби отдельно.4. Иногда правило Лопиталя применяется несколько раз.
ПРИМЕР. Вычислить
.
РЕШЕНИЕ. Значение предела
позволяет сравнить бесконечно большие при
функции: показательная функция
– бесконечно большая функция большего порядка по сравнению со степенной функцией
– бесконечно большой при
.
5. Правило Лопиталя не является универсальным,
оно применимо лишь тогда, когда существует предел отношения производных.
ПРИМЕР. Значение предела
получить по правилу Лопиталя нельзя, поскольку
– не существует (поведение
при
неопределенное). Можно провести счет, например, так:
, применяя теорему о пределе произведения бесконечно малой функции на
ограниченную, в нашем случае,при
,
![]()
.
ФОРМУЛА ТЕЙЛОРА базовая формула математического анализа.
ПРИМЕР 1. Разложить функцию
в окрестности точки
, взяв
.
РЕШЕНИЕ. Воспользуемся формулой Маклорена при
. Найдем производные
;
;
; отсюда
,
,
,
. Получаем
.
ПРИМЕР 2. Убедиться самостоятельно в правильности разложений функции в окрестности
по степеням
:
, где
лежит между
и 0;
,
.
ПРИМЕР 3. Оценить абсолютную погрешность приближенного
равенствапри
.
РЕШЕНИЕ.
,
– между
и 0. Поэтому
. Например, для
абсолютная
погрешность не превосходит числа 0,04.ПРИМЕР 4. Вычислить приближенно
, используя формулу
Тейлора при,
,
; оценить погрешность.
РЕШЕНИЕ. Рассмотрим функцию
и ее представление по формуле Тейлора в
,
т.е.
. Оценим погрешность
. Здесь точка
расположена между
и
. Поскольку функция
возрастающая, то
, т.е.
. Поэтому с точностью
имеем
.
ПРИМЕР 5. Используя разложения функций по формуле Тейлора, вычислить пределы:
а)
; б)
.
РЕШЕНИЕ. а)
;
б)
.
Вычисление определенного интеграла |