Правило Лопиталя применяется только для раскрытия неопределенностей.
ПРИМЕР.
– здесь нет неопределенности, правило Лопиталя не применимо;
в точке 
функция непрерывная и
предел ее при 
равен значению
функции в предельной точке.
3. При применении правила Лопиталя дифференцируется
числитель и знаменатель дроби отдельно.
4. Иногда правило Лопиталя применяется несколько раз.
ПРИМЕР. Вычислить 
.
РЕШЕНИЕ. Значение предела 
позволяет сравнить бесконечно большие при 
функции: показательная функция 
– бесконечно большая функция большего порядка
по сравнению со степенной функцией 
– бесконечно большой при .
5. Правило Лопиталя не является универсальным,
оно применимо лишь тогда, когда существует предел отношения производных 
.
ПРИМЕР. Значение предела
получить по правилу Лопиталя нельзя, поскольку 
– не существует (поведение 
при неопределенное). Можно провести счет, например, так:
, применяя теорему о пределе
произведения бесконечно малой функции на
ограниченную, в нашем случае, 
при 
, 
.
ФОРМУЛА ТЕЙЛОРА базовая формула математического анализа.
ПРИМЕР 1. Разложить функцию 
в окрестности точки 
, взяв 
.
РЕШЕНИЕ. Воспользуемся формулой Маклорена при
. Найдем производные 
; 
;
;
отсюда 
, 
, 
, 
. Получаем 
.
ПРИМЕР 2. Убедиться самостоятельно в правильности
разложений функции в окрестности 
по
степеням 
:
,
где 
лежит между и 0;
,
.
ПРИМЕР
3. Оценить абсолютную погрешность приближенного
равенства 
при 
.
РЕШЕНИЕ. 
, – между и 0. Поэтому 
. Например, для 
абсолютная
погрешность не превосходит числа 0,04.
ПРИМЕР
4. Вычислить приближенно 
, используя формулу
Тейлора при 
,
, 
; оценить погрешность.
РЕШЕНИЕ. Рассмотрим функцию
и ее представление по формуле Тейлора в 
,
т.е.
. Оценим погрешность 
.
Здесь точка расположена между
и . Поскольку функция 
возрастающая, то 
, т.е. 
. Поэтому с точностью 
имеем 
.
ПРИМЕР 5. Используя разложения функций по формуле Тейлора, вычислить пределы:
а) 
;
б) 
.
РЕШЕНИЕ. а) 
;
б) 
.