Лекции по математике
Криволинейный интеграл
Векторное поле
Вычисление пределов
Примеры решения задач
Поверхностный интеграл
Решение типовых задач
Производная функции
Интегрирование по частям
Двойной интеграл
Тройной интеграл
Карта сайта

Решение задач контрольной по математике. Типовые и курсовые расчеты

ОДУ первого порядка.

Уравнения с разделяющимися переменными и однородные уравнения

Примеры: Даны ОДУ 1-го порядка. Определить их тип (если возможно):

  а) ; б) ; в)

 г);

 д)

а) Запишем уравнение в дифференциальной форме. Для этого умножим обе его части на dx, учитывая что , получаем: . Левую часть полученного уравнения раскладывается на множители:

. Очевидно, это уравнение с разделяющимися переменными, т.к. если разделить обе его части на , то все у соберутся слева, а все х – справа.

б) Запишем уравнение в дифференциальной форме, умножив на dx:

. Поскольку функция в правой части уравнения не раскладывается в произведение, это уравнение не является уравнением с разделяющимися переменными. Но его нормальная форма (которая и дана в задании) соответствует уравнению, приводящемуся к уравнению с разделяющимися переменными при помощи подстановки z=y-x (см замечание на с.8)

в) Запишем уравнение в дифференциальной форме, умножив на dx:

  и соберем все слагаемые с dx в правой части, приведя подобные слагаемые:. Очевидно, это уравнение с разделяющимися переменными (следует разделить обе части уравнения на )

г) Предложенное уравнение записано в дифференциальной форме. Поскольку функции, входящие в него, не раскладывается на множители, это не уравнение с разделяющимися переменными. Но они являются однородными (т.к. все слагаемые в них одной степени), поэтому данное уравнение – однородное (и приводится к уравнению с разделяющимися переменными подстановкой )

д) Предложенное уравнение записано в дифференциальной форме и, очевидно, не является уравнением с разделяющимися переменными. Это также не однородное уравнение, так как в него входят слагаемые как степени 1, так и степени 0. Запишем это уравнение в нормальной форме, выразив . Согласно замечанию на с.10, это уравнение приводится к однородному.

Вопросы и задачи:

п1. Дано дифференциальное уравнение:. Являются ли решениями этого уравнения функции:

  а) ; б) ; в) ?

 Можно ли утверждать, что приведено общее решение данного уравнения?

п2. Из приведенных уравнений выберите ОДУ 1-го порядка. Запишите их в дифференциальной форме и в виде уравнения, разрешенного относительно производной:

 а); б); в);

 г); д); е);

 ж); з); и)

п3. Укажите среди уравнений из п2 уравнения с разделяющимися переменными; приводящиеся к ним; однородные уравнения; приводящиеся к однородным (если есть)

Задачи к практическому занятию

1.;  2.; 3.;

4.;  5.;

 6.;  7.;

8.;  9.; 10.

11.; 12.;

13.; 14.

Любую кривую y=f(x), заданную в декартовой системе координат можно задать в полярной системе уравнением =(), которое можно получить непосредственно, исходя из геометрических свойств этой кривой, либо с помощью формул перехода от прямоугольных координат к полярным.

Элементарной областью D в полярной системе координат считают криволинейный сектор, ограниченный двумя лучами, исходящими из полюса под углами  и к оси 0x (= и =), и кривой =() (рис.8)

 рис.8

Определение. Область D в полярной системе координат называется правильной, если любой луч, исходящий из полюса и проходящий через внутреннюю точку области D, пересекает границу области D только в двух точках (рис.9)

 

 

 Рис.9

Замечание 1. Если полюс 0 лежит вне области D, то правильную область D в полярной системе координат можно описать, как область, ограниченную двумя лучами = и = (<) и кривыми

  и  () при )


На главную страницу сайта