Задание 2. Вычислить значение функции
в точке
, ответ представить в алгебраической форме комплексного числа:
а)
;
б)
.
Решение.
а)
б) По определению
.
,
Задание 3. Указать область дифференцируемости функции
и вычислить производную. Выделить действительную и мнимую часть полученной производной.
Решение.
Выделим действительную и мнимую часть функции
:
Таким образом, получим:
Найдем частные производные
и выясним, в окрестности каких точек они существуют и непрерывны, а также в каких точках плоскости выполняются условия Коши-Римана:
.
,
,
т.е.
для любых действитедбных х и у, и эти частные производные непрерывны во всей плоскости
.
,
,
т.е.
для любых действитедьных х и у, и эти частные производные непрерывны во всей плоскости
.
Так как условия Коши-Римана выполняются для любой пары действительных чисел
и частные производные
существуют и непрерывны в окрестности любой точки
, то производная
существует в любой точке
комплексной плоскости С.
Найдем эту производную:
Итак,
.
Действительная часть производной:
,
мнимая часть производной:
.
Некоторые приложения тройного интеграла.
1) Объем тела, занимающего область D
R3:
2) Если плотность тела
, то масса тела, занимающего область D
R3:
3) Координаты центра тяжести тела, занимающего область D
R3:
Если тело однородное, т.е.
= Const, то координаты его центра тяжести:
Вычисление криволинейных интегралов 1-го рода |