Решение задач контрольной по математике. Типовые и курсовые расчеты

Задание 2. Вычислить значение функции  в точке , ответ представить в алгебраической форме комплексного числа:

а) ;

б) .

Решение.

а)

б) По определению .

,

Задание 3. Указать область дифференцируемости функции  и вычислить производную. Выделить действительную и мнимую часть полученной производной.

Решение.

Выделим действительную и мнимую часть функции :

Таким образом, получим:

Найдем частные производные  и выясним, в окрестности каких точек они существуют и непрерывны, а также в каких точках плоскости выполняются условия Коши-Римана:

.

,

,

т.е.  для любых действитедбных х и у, и эти частные производные непрерывны во всей плоскости .

,

,

т.е.  для любых действитедьных х и у, и эти частные производные непрерывны во всей плоскости .

Так как условия Коши-Римана выполняются для любой пары действительных чисел  и частные производные  существуют и непрерывны в окрестности любой точки , то производная  существует в любой точке  комплексной плоскости С.

Найдем эту производную:

Итак, .

Действительная часть производной:

,

мнимая часть производной:

.

 Некоторые приложения тройного интеграла.

1) Объем тела, занимающего область DR3:

2) Если плотность тела , то масса тела, занимающего область DR3:

3) Координаты центра тяжести тела, занимающего область DR3:

Если тело однородное, т.е. = Const, то координаты его центра тяжести: