Лекции по математике
Криволинейный интеграл
Векторное поле
Вычисление пределов
Примеры решения задач
Поверхностный интеграл
Решение типовых задач
Производная функции
Интегрирование по частям
Двойной интеграл
Тройной интеграл
Карта сайта

Решение задач контрольной по математике. Типовые и курсовые расчеты

Задание 6. Проверить, может ли функция  быть действительной частью некоторой аналитической функции , если да – восстановить ее, при условии .

Решение.

Найдем частные производные:

Следовательно,

, .

Таким образом, функция  гармоническая в плоскости , и, значит существует такая аналитическая в  функция , что .

В силу условий Коши-Римана имеем:

 (1)

  (2)

Интегрируем уравнение (1) по переменной у, находим мнимую часть с точностью до слагаемого :

.  (3)

Продифференцируем (3) по х:

Сопоставляя результат с (2), получаем , откуда .

Таким образом, имеем

  и

Учитывая условие , получаем .

Итак,

Некоторые приложения двойного интеграла.

1) Площадь плоской области D:

2) Объем цилиндрического тела, ограниченного сверху поверхностью , снизу областью D на плоскости 0XY, сбоку цилиндрической поверхностью, параллельной оси 0Z:

.

3) Площадь поверхности z = f (x;y) :

,

где D – проекция данной поверхности на 0XY.

4) Масса пластинки, занимающей область D плоскости 0XY и имеющей плотность :

.

При этом статистические моменты пластинки, относительно осей 0X и 0Y:

; .

5) Координаты центра тяжести пластинки:

 ; .

В случае однородной пластинки  координаты центра тяжести однородной пластинки:

  , .


На главную страницу сайта