Задание 7. Найти область плоскости
, в которую отображается с помощью функции
область
:
плоскости
.
Решение.
Для того чтобы найти образ области
при отображении
, нужно найти образ границы
области
, затем взять произвольную точку из области
и найти ее образ.
Правило для определения уравнения образа кривой.
Пусть в области
кривая задана
. Чтобы найти уравнение образа
этой кривой в плоскости
при отображении с помощью функции
, нужно исключить
и
из уравнений:
(1)
Если кривая задана параметрическими уравнениями:
или
,
то параметрические уравнения её образа при отображении
будут
В данном примере граница области
состоит из трех частей:
![]()
. Найдем ее образ при данном отображении.
Выделим и действительную и мнимую части функции.
;
,
.
Возьмем первую часть границы и найдем ее образ. Составим систему (1):
Возведем в квадрат первое и второе уравнения системы и сложим:
.
Окончательное уравнение границы
при
.
Аналогично находим образ
:
при
.
Образ
находим из системы:
Следовательно, образ границы
:
при
и
при
;
. Изобразим образы границ
на плоскости
.
Для изображения образа области
на плоскости
возьмем контрольную точку. Точка
обратится в точку
.
Тройной интеграл.
1. Определение тройного интеграла.
Пусть задана функция
на замкнутой области D
R3.
Определение 1. Сумма
, где точка
,
- объем i–той части разбиения области D на
, называется интегральной суммой функции
в области D.
Определение 2. Тройным интегралом от функции u = f (x;y;z)по области D
R3 называется предел интегральной суммы
при условиях:
а)
и
(стягиваясь в точку);
б) этот предел существует и не зависит ни от способа разбиения области D на части
, ни от выбора точек
на
.
где
- элемент области D
R3.
Теорема (достаточное условие существования тройного интеграла)
Если функция
непрерывна в области D
R3, то тройной интеграл от этой функции по области D существует.
Вычисление криволинейных интегралов 1-го рода |