Лекции по математике
Криволинейный интеграл
Векторное поле
Вычисление пределов
Примеры решения задач
Поверхностный интеграл
Решение типовых задач
Производная функции
Интегрирование по частям
Двойной интеграл
Тройной интеграл
Карта сайта

Решение задач контрольной по математике. Типовые и курсовые расчеты

Задание 7. Найти область плоскости , в которую отображается с помощью функции  область :  плоскости .

Решение.

Для того чтобы найти образ области  при отображении , нужно найти образ границы  области , затем взять произвольную точку из области  и найти ее образ.

Правило для определения уравнения образа кривой.

Пусть в области  кривая задана . Чтобы найти уравнение образа  этой кривой в плоскости  при отображении с помощью функции , нужно исключить  и  из уравнений:

  (1)

Если кривая задана параметрическими уравнениями:

  или ,

 то параметрические уравнения её образа при отображении  будут

В данном примере граница области  состоит из трех частей:  . Найдем ее образ при данном отображении.

Выделим и действительную и мнимую части функции.

;

, .

Возьмем первую часть границы и найдем ее образ. Составим систему (1):

Возведем в квадрат первое и второе уравнения системы и сложим:

.

Окончательное уравнение границы  при .

Аналогично находим образ :  при .

Образ  находим из системы:

Следовательно, образ границы :  при  и  при ; . Изобразим образы границ  на плоскости .

Для изображения образа области  на плоскости  возьмем контрольную точку. Точка  обратится в точку .

Тройной интеграл.

1. Определение тройного интеграла.

Пусть задана функция  на замкнутой области DR3.

Определение 1. Сумма , где точка , - объем i–той части разбиения области D на , называется интегральной суммой функции  в области D.

Определение 2. Тройным интегралом от функции u = f (x;y;z)по области DR3 называется предел интегральной суммы   при условиях:

а)  и  (стягиваясь в точку);

б) этот предел существует и не зависит ни от способа разбиения области D на части , ни от выбора точек  на .

где - элемент области DR3.

Теорема (достаточное условие существования тройного интеграла)

Если функция  непрерывна в области DR3, то тройной интеграл от этой функции по области D существует.


На главную страницу сайта