Решение задач контрольной по математике. Типовые и курсовые расчеты

Задание 7. Найти область плоскости , в которую отображается с помощью функции  область :  плоскости .

Решение.

Для того чтобы найти образ области  при отображении , нужно найти образ границы  области , затем взять произвольную точку из области  и найти ее образ.

Правило для определения уравнения образа кривой.

Пусть в области  кривая задана . Чтобы найти уравнение образа  этой кривой в плоскости  при отображении с помощью функции , нужно исключить  и  из уравнений:

  (1)

Если кривая задана параметрическими уравнениями:

  или ,

 то параметрические уравнения её образа при отображении  будут

В данном примере граница области  состоит из трех частей:  . Найдем ее образ при данном отображении.

Выделим и действительную и мнимую части функции.

;

, .

Возьмем первую часть границы и найдем ее образ. Составим систему (1):

Возведем в квадрат первое и второе уравнения системы и сложим:

.

Окончательное уравнение границы  при .

Аналогично находим образ :  при .

Образ  находим из системы:

Следовательно, образ границы :  при  и  при ; . Изобразим образы границ  на плоскости .

Для изображения образа области  на плоскости  возьмем контрольную точку. Точка  обратится в точку .

Тройной интеграл.

1. Определение тройного интеграла.

Пусть задана функция  на замкнутой области DR3.

Определение 1. Сумма , где точка , - объем i–той части разбиения области D на , называется интегральной суммой функции  в области D.

Определение 2. Тройным интегралом от функции u = f (x;y;z)по области DR3 называется предел интегральной суммы   при условиях:

а)  и  (стягиваясь в точку);

б) этот предел существует и не зависит ни от способа разбиения области D на части , ни от выбора точек  на .

где - элемент области DR3.

Теорема (достаточное условие существования тройного интеграла)

Если функция  непрерывна в области DR3, то тройной интеграл от этой функции по области D существует.