Изменить
порядок интегрирования в интеграле 
.
РЕШЕНИЕ.
Восстановим область интегрирования (
) по пределам повторных интегралов:
=1È2,
(1):
;
(2):
Изобразим область интегрирования
на чертеже. Найдем точки пересечения параболы 
и прямой 
: 
т.е. точкам пересечения кривых соответствуют
точки, для которых 
и 
. Вертикальной штриховкой покажем порядок интегрирования:
сначала по y при фиксированном x. Сменим штриховку на горизонтальную. Из рисунка
видно, что данная область является 
-трапецией.
Рис.73
Уравнение
“нижней” кривой есть , “верхней” - прямая 
. Поэтому (): 
и в результате подстановки пределов получим следующий
повторный интеграл: 
Ответ. 
ЗАДАНИЕ 6. Найти объем тела, ограниченного поверхностями
;
.
РЕШЕНИЕ.
Тело 
ограничено с “боков” плоскостью 
и цилиндром (цилиндрической поверхностью)
. “Снизу” тело “накрыто” плоскостью
, сверху – плоскостью 
. Изобразим на чертеже заданное тело (рис.74).
Рис.74
Очевидно,
тело есть 
- цилиндрический брус. Область (), являющуюся ортогональной проекцией
тела на плоскость 
, изобразим на отдельном рисунке. Для этого найдем точки
пересечения параболы 
с прямой 
. Опуская подробности вычислений, получим, что прямая и
“положительная” ветвь параболы пересекаются в точке, в которой 
. Объем цилиндрического бруса может
быть найден с помощью двойного интеграла. Учитывая, что тело “стоит” на плоскости
, для объема запишем формулу 
и перейдем к повторному интегралу. Область (),
изображенная на рисунке, очевидно не является 
- трапецией, но является - трапецией:
():
.
Записав объем через повторный интеграл и производя вычисления, последовательно получим
V=
.
Ответ. Объем тела равен 80.
3) Вычислить работу силового поля 
при перемещении материальной точки вдоль верхней половины
эллипса 
из точки A (a;0) в точку
B (-a;0).
Замечание 2. Если кривая l , по которой проводится интегрирование, является замкнутой, то A= B (начало пути совпадает с его концом). Тогда путь интегрирования называют контуром и обозначают буквой C. При этом криволинейный интеграл обозначают:
с
указанной стрелкой направления интегрирования. В таком случае интеграл называют
циркуляцией вектора 
по замкнутому контуру. Если стрелки нет, то вычисляют
интеграл против часовой стрелки (положительное направление).