Лекции по математике
Криволинейный интеграл
Векторное поле
Вычисление пределов
Примеры решения задач
Поверхностный интеграл
Решение типовых задач
Производная функции
Интегрирование по частям
Двойной интеграл
Тройной интеграл
Карта сайта

Решение задач контрольной по математике. Типовые и курсовые расчеты

Вычислить массу дуги кривой () при заданной плотности :

1)  

2) (.

3) (.

РЕШЕНИЕ.

1) Рассматривается случай параметрического задания кривой (). Массу плоской кривой можно вычислить с помощью криволинейного интеграла первого рода: . Для вычисления его нужно свести к определенному интегралу от функции одной переменной по отрезку по формуле:

.

Найдем  ,

, так как для  функция .  Вычислим массу  с помощью определенного интеграла:

=

Ответ. =256.

2) Кривая () задана явным выражением. В случае явного задания кривой криволинейный интеграл первого рода сводится к определенному следующим образом  :

.

Найдем  .

Для массы  получим:

.

Ответ. .

3) Наконец, рассмотрим случай кривой, заданной в полярной системе координат, в этом случае масса  может быть определена по формуле

.

Вычислим

Для определения массы кривой получим определенный интеграл

.

Ответ. =.

Криволинейный интеграл II рода (по координатам)

Пусть в пространстве  задана дуга AB гладкой кривой l и на этой дуге AB задано векторное поле

Точками  дуга AB разбита на n произвольных дуг  на каждой из которых произвольно взяты точки . Концы дуг соединены отрезками прямых, на которых выбрано направление, т.е. образованы векторы:   каждый из которых имеет координаты:  

Составим сумму скалярных произведений векторов

Определение 3. Сумма  называется интегральной суммой для векторной функции  по дуге AB кривой .


На главную страницу сайта