Убедиться в потенциальности поля вектора
,
найти потенциал
поля и вычислить работу этого поля при перемещении точки единичной массы от точки
до точки
.
РЕШЕНИЕ.
Для поля
, заданного в односвязной области, критерием потенциальности служит равенство нулю вихря этого поля. Вычислим:
, т.е. поле потенциально. Восстановим потенциал поля. Это можно сделать по формуле
или по одной из аналогичных ей пяти формул, отражающих движение от точки
к точке
вдоль отрезков, параллельных осям координат, по той, которая упрощает вычисление интегралов. По приведенной выше формуле получим
=
.
Потенциал поля определяется с точностью до постоянной. В потенциальном поле работа равна приращению потенциала, т.е. разности значений потенциала в двух точках и не зависит от формы пути перемещения материальной точки:
.
Ответ.
,
.
Потенциальное поле, потенциальная функция и ее вычисление.
Определение 6. Векторное поле
называется потенциальным, если
не зависит от пути, соединяющему точки A и B.
Если
не зависит от пути интегрирования, то
При этом функция
называется потенциальной функцией поля
.
Вычисление потенциальной функции.
Если
, то существует функция
, для которой
. Для вычисления функции
используем криволинейный интеграл
не зависящий от пути интегрирования. Путь AB выбираем любой, соединяющий точки
и
; например, ломаную линию ACB, где
(рис. 3). Тогда:
Итак,
![]()
Вычисление криволинейных интегралов 1-го рода |