Убедиться
в потенциальности поля вектора 
,
найти
потенциал 
поля и вычислить работу этого поля при перемещении точки
единичной массы от точки 
до точки 
.
РЕШЕНИЕ.
Для поля 
, заданного в односвязной области, критерием потенциальности
служит равенство нулю вихря этого поля. Вычислим:
,
т.е. поле потенциально. Восстановим потенциал поля. Это можно сделать по формуле
или
по одной из аналогичных ей пяти формул, отражающих движение от точки 
к точке 
вдоль отрезков, параллельных
осям координат, по той, которая упрощает вычисление интегралов. По приведенной
выше формуле получим
=
.
Потенциал поля определяется с точностью до постоянной. В потенциальном поле работа равна приращению потенциала, т.е. разности значений потенциала в двух точках и не зависит от формы пути перемещения материальной точки:
.
Ответ.
, 
.
Потенциальное поле, потенциальная функция и ее вычисление.
Определение
6. Векторное поле 
называется потенциальным, если 
не зависит от пути, соединяющему точки A и
B.
Если не зависит от
пути интегрирования, то
При
этом функция 
называется потенциальной функцией поля 
.
Вычисление потенциальной функции.
Если 
, то существует
функция , для которой 
.
Для вычисления функции используем
криволинейный интеграл 
не зависящий
от пути интегрирования. Путь AB выбираем любой, соединяющий точки 
и 
; например, ломаную линию ACB, где 
(рис. 3). Тогда:
Итак,
