На главную v-garant.ru
Метод замены переменной Интегрирование по частям Вычислить криволинейный интеграл Поверхностный интеграл Функции комплексной переменной Функции нескольких переменных Векторное поле Решение типовых задач

Решение задач контрольной по математике. Типовые и курсовые расчеты

Матрицы. Терминология

Принцип равенства

Две действительные матрицы  и  называются равными (записывается ), если они имеют одинаковые размеры, т.е. числа строк и столбцов у этих матриц совпадают, и на одинаковых местах в этих матрицах стоят одинаковые элементы.

Формализуем это определение: пусть

.

Тогда

  ,

где  и  некоторые натуральные числа.

Пример 1. Выяснить, какие из следующих матриц равны

◄  Прежде всего заметим, что все шесть матриц порождены одними и теми же числами: 0, ±1, 2. Далее, сравнивать между собой можно только матрицы   и , являющиеся квадратными матрицами порядка 2, так как матрицы  и  имеют соответственно размеры  и  и, следовательно, не могут совпадать ни друг с другом, ни с остальными рассматриваемыми здесь матрицами. Матрица   не совпадает ни с одной из матриц , так как в отличие от этих трёх матриц у  вторая строка целиком состоит из нулей. Далее , так как на пересечении первой строки и первого столбца в этих матрицах стоят разные элементы: в , а в . Наконец, равенства  показывают, что . ►

Транспонированная матрица

Пусть матрица  имеет вид (1.1). Тогда матрица

называется матрицей транспонированной к матрице . Легко заметить, что, во-первых, матрицы  и   имеют одинаковые главные диагонали, а во-вторых, матрицу  можно получить из матрицы  поворотом последней вокруг её главной диагонали на угол, равный . В частности, если

, тогда ,

и, наоборот, если

, тогда .

Отметим следующие очевидные свойства операции транспонирования матриц:

1)  2)

Если , тогда матрица  называется симметрической. Из свойства 1) следует, что симметрические матрицы всегда квадратные. Примером симметрической матрицы является матрица

.

Дивергенция векторного поля. Теорема Гаусса – Остроградского.

Определение. Пусть в пространстве  задан вектор

  где функции P, Q  и R дифференцируемые в некоторой области DR3. Тогда дивергенцией векторного поля называется скалярная величина, обозначаемая и вычисляемая по формуле:

Теорема Гаусса – Остроградского.

Пусть задана замкнутая поверхность S , ограниченная двумя правильными по направлению оси OZ поверхностями:

  и . Тогда поток вектора

  через поверхность  с нормалью , направленной из поверхности S (наружу по отношению к объему V , ограниченному поверхностью S), вычисляется по формуле:

Эту формулу можно записать в векторной форме:

.


Вычислить интеграл от функции комплексного переменного