На главную v-garant.ru
Метод замены переменной Интегрирование по частям Вычислить криволинейный интеграл Поверхностный интеграл Функции комплексной переменной Функции нескольких переменных Векторное поле Решение типовых задач

Решение задач контрольной по математике. Типовые и курсовые расчеты

Рассмотрим основные свойства умножения матриц.

1) Если , тогда .

 ◄ Это свойство вытекает из определения произведения матриц. ►

2) Умножение матриц, вообще говоря, некоммутативно, т.е. .

 ◄ Прежде всего заметим, что произведение  и  не всегда существуют одновременно, как это видно из примера 2. Если  и  существуют одновременно, т.е. , тогда , , т.е. при  матрицы  и  разного порядка и, следовательно, несравнимы. Но даже если  и, следовательно,  и  одного порядка, равенство , вообще говоря, не выполняется. Например,

.  ►

В то же время существуют матрицы  и  для которых . Такие матрицы называются перестановочными. Например, матрицы

 

перестановочны, т.к.

.

 Более того, существуют квадратные матрицы порядка , которые перестановочны со всеми матрицами из .

Примером такой матрицы во множестве  является матрица

,

в чем предлагаем читателю убедиться самостоятельно.

3) Умножение матриц ассоциативно, т.е.

. (1.9)

Равенство (1.9) следует понимать так: если его левая (или правая) часть существует, тогда существует и правая (левая) часть и обе они совпадают.

 Доказательство этого свойства содержится в учебнике [1], §13. 

4) Умножение матриц дистрибутивно относительно сложения, т.е.

 

 ◄ Пусть . Тогда

.  ►

5) Произведение матриц однородно по каждому из сомножителей, т.е.

, где .

 ◄ Например,

.

Равенство  доказывается аналогично. ►

6) Реакция произведения матриц на операцию транспонирования выражается формулой

  (1.10)

 ◄ Пусть , тогда , , т.е. левая и правая части равенства (1.10) существуют и имеют одинаковые порядки. Далее

 

 

 . ►

7) Рассмотрим множество квадратных матриц следующего вида:

.

Матрица  называется единичной матрицей порядка .

Если , тогда матрица  является её левой единицей, а матрица  – правой единицей, т.е.

.

Если матрица  квадратная и имеет порядок , тогда матрица  является её двусторонней (левой и правой) единицей, т.е.

.

8) Напомним, что для всех действительных чисел  , т.е. ноль является делителем нуля. В то же время произведение  действительных чисел может равняться нулю лишь в том случае, когда по крайней мере одно из чисел  или  равно нулю. Иными словами, среди действительных чисел отсутствуют истинные (т.е. отличные от 0) делители нуля. В отличие от действительных чисел среди действительных матриц истинные делители  существуют, т.е. найдутся такие ненулевые матрицы  порядка  и  порядка , что .

 ◄ В самом деле, матрицы

  и ,

соответственно порядков  и , очевидно удовлетворяют нужному условию. В частности, если , то. ►

Поверхностный интеграл II рода.

Гладкая поверхность  называется двусторонней, если нормаль к этой поверхности в любой ее точке при обходе по любому замкнутому контуру, лежащему на поверхности S и не имеющему общих точек с ее границей, возвращается в первоначальное положение. Выбор определенной стороны поверхности, т.е. выбор направления нормали к поверхности, называется ориентацией поверхности.

Пусть   - гладкая ориентированная поверхность и в каждой точке этой поверхности задана непрерывная функция . Разобьем поверхность S на n частей произвольно и каждую часть проецируем на плоскость, например, OXY. Обозначим площадь каждой проекции . На каждой из частей поверхности произвольно берем точку  и составим сумму: 

Поверхностным интегралом II рода называется предел интегральной суммы   при условиях:

1)  и  (стягиваясь в точку),

2) этот предел существует и не зависит ни от способа разбиения поверхности S на части, ни от выбора точек  на каждой из частей поверхности, т.е.:


Вычислить интеграл от функции комплексного переменного