Вычисление пределов | |||
Производная функции | |||
Карта сайта |
Теория делимости квадратных матриц
Выше мы убедились, что арифметические операции над матрицами, прежде всего в части умножения, отличаются по своим свойствам от аналогичных операций над числами. Однако наиболее существенные отличия связаны с операцией деления.
Любое отличное от 0 действительное число
имеет обратное число
, т.е.
, (1.11)
и поэтому любое действительное число
можно разделить на любое ненулевое число
,
Теорию делимости для матриц будем строить, исходя из соотношений (1.11).
Матрица
называется обратимой, если существует такая матрица
, что
. (1.12)
Если матрица
обратима матрица
называется её обратной матрицей и обозначается
. Из равенства (1.12) следует, что все входящие в них матрицы квадратные и имеют одинаковый порядок
. В связи с этим будем считать, что все матрицы, рассматриваемые в данном пункте, принадлежат множеству
, а единичную матрицу
будем обозначать для простоты
. Множество всех квадратных обратимых действительных матриц порядка
в дальнейшем будем обозначать через
.
Свойства обратимых матриц.
1) Если
, её обратная матрица
единственна.
◄ Действительно, допустим, что наряду с равенствами (1.12) выполняются равенства
. (1.13)
где
. Умножая обе части равенства
на матрицу
слева, по свойству ассоциативности умножения матриц получаем, что
.
С другой стороны,
, т.е.
. ►
2) Если
, тогда
, и
.
◄ Справедливость этого свойства вытекает из равенств (1.12). ►
3) Если
, тогда
, и
. (1.14)
◄ Действительно, применяя операцию транспонирования к равенствам (1.12) и учитывая при этом, что
, получаем, что
или
.
Последнее равенство означает, что матрица
обратима, и её обратная матрица имеет вид
, т.е. выполнено равенство (1.14). ►
4) Если
и
, тогда матрица
обратима и
. (1.15)
◄ Действительно, используя свойство 5) умножения матриц, получаем, что
,
.
Откуда следует обратимость матрицы
и равенство (1.15). ►
5) Если
, тогда
и
(1.16)
◄ Докажем, например, обратимость матрицы
,
Откуда следует обратимость матрицы
и первое равенство (1.16). Обратимость матрицы
и второе равенство (1.16) доказывается аналогично. ►
6) Если
, то во множестве
всегда существует необратимые матрицы.
◄ Примером такой матрицы является матрица
.
Действительно, равенство
не может выполняться ни для какой матрицы
из
, так как в произведении
последняя строка всегда нулевая и поэтому
.►
Следующее утверждение по существу описывает все необратимые матрицы в
.
Предложение 1.1. Если матрица
является истинным делителем нуля, тогда она необратима.
◄ Пусть матрица
и существует такая матрица
,
, что
или
. Тогда матрица
не может быть обратимой. Действительно, если предположить существование такой матрицы
, что
,
тогда умножая обе части равенства
на матрицу
справа (или обе части равенства
на матрицу
слева), получаем, что
и аналогично в случае
. ►
Справедливо и обратное утверждение.
Предложение 1.2. Если матрица
отлична от нуль-матрицы и не является истинным делителем нуля, тогда она обратима.
Вычислить интеграл от функции комплексного переменного |