На главную v-garant.ru
Метод замены переменной Интегрирование по частям Вычислить криволинейный интеграл Поверхностный интеграл Функции комплексной переменной Функции нескольких переменных Векторное поле Решение типовых задач

Решение задач контрольной по математике. Типовые и курсовые расчеты

Теория делимости квадратных матриц

Выше мы убедились, что арифметические операции над матрицами, прежде всего в части умножения, отличаются по своим свойствам от аналогичных операций над числами. Однако наиболее существенные отличия связаны с операцией деления.

Любое отличное от 0 действительное число  имеет обратное число , т.е.

,  (1.11)

и поэтому любое действительное число  можно разделить на любое ненулевое число ,

Теорию делимости для матриц будем строить, исходя из соотношений (1.11).

Матрица  называется обратимой, если существует такая матрица , что

. (1.12)

Если матрица  обратима матрица  называется её обратной матрицей и обозначается . Из равенства (1.12) следует, что все входящие в них матрицы квадратные и имеют одинаковый порядок . В связи с этим будем считать, что все матрицы, рассматриваемые в данном пункте, принадлежат множеству , а единичную матрицу  будем обозначать для простоты . Множество всех квадратных обратимых действительных матриц порядка  в дальнейшем будем обозначать через .

 Свойства обратимых матриц.

  1) Если , её обратная матрица  единственна.

 ◄ Действительно, допустим, что наряду с равенствами (1.12) выполняются равенства

.  (1.13)

где . Умножая обе части равенства  на матрицу  слева, по свойству ассоциативности умножения матриц получаем, что

.

С другой стороны,

, т.е. . ►

 2) Если , тогда , и .

 ◄ Справедливость этого свойства вытекает из равенств (1.12). ►

 3) Если , тогда , и

.  (1.14)

 ◄ Действительно, применяя операцию транспонирования к равенствам (1.12) и учитывая при этом, что , получаем, что

или

.

Последнее равенство означает, что матрица обратима, и её обратная матрица имеет вид , т.е. выполнено равенство (1.14). ►

 4) Если  и , тогда матрица  обратима и

.  (1.15)

 ◄ Действительно, используя свойство 5) умножения матриц, получаем, что

,

.

Откуда следует обратимость матрицы  и равенство (1.15). ►

 5) Если , тогда  и

  (1.16)

 ◄ Докажем, например, обратимость матрицы ,

Откуда следует обратимость матрицы  и первое равенство (1.16). Обратимость матрицы   и второе равенство (1.16) доказывается аналогично. ►

 6) Если , то во множестве  всегда существует необратимые матрицы.

 ◄ Примером такой матрицы является матрица

.

Действительно, равенство  не может выполняться ни для какой матрицы  из , так как в произведении  последняя строка всегда нулевая и поэтому

.►

  Следующее утверждение по существу описывает все необратимые матрицы в .

 Предложение 1.1. Если матрица  является истинным делителем нуля, тогда она необратима.

 ◄ Пусть матрица  и существует такая матрица , , что  или . Тогда матрица  не может быть обратимой. Действительно, если предположить существование такой матрицы , что

,

тогда умножая обе части равенства  на матрицу  справа (или обе части равенства  на матрицу  слева), получаем, что

 

и аналогично в случае . ►

 Справедливо и обратное утверждение.

Предложение 1.2. Если матрица  отлична от нуль-матрицы и не является истинным делителем нуля, тогда она обратима.


Вычислить интеграл от функции комплексного переменного