Теория делимости квадратных матриц
Выше мы убедились, что арифметические операции над матрицами, прежде всего в части умножения, отличаются по своим свойствам от аналогичных операций над числами. Однако наиболее существенные отличия связаны с операцией деления.
Любое отличное от 0 действительное
число 
имеет обратное число 
, т.е.
,
(1.11)
и поэтому любое действительное число 
можно разделить на любое ненулевое число ,
Теорию делимости для матриц будем строить, исходя из соотношений (1.11).
Матрица
называется обратимой, если существует такая матрица 
,
что
. (1.12)
Если
матрица обратима матрица называется её обратной матрицей и обозначается 
.
Из равенства (1.12) следует, что все входящие в них матрицы квадратные и имеют
одинаковый порядок 
. В связи с
этим будем считать, что все матрицы, рассматриваемые в данном пункте, принадлежат
множеству 
, а единичную матрицу 
будем обозначать для простоты 
. Множество всех квадратных обратимых
действительных матриц порядка в дальнейшем будем обозначать через 
.
Свойства обратимых матриц.
1) Если 
, её обратная матрица 
единственна.
◄ Действительно, допустим, что наряду с равенствами (1.12) выполняются равенства
.
(1.13)
где 
. Умножая обе части равенства 
на матрицу 
слева, по свойству ассоциативности
умножения матриц получаем, что
.
С другой стороны,
, т.е.
. ►
2) Если , тогда 
, и 
.
◄ Справедливость этого свойства вытекает из равенств (1.12). ►
3) Если , тогда 
, и
.
(1.14)
◄ Действительно, применяя операцию транспонирования к равенствам
(1.12) и учитывая при этом, что 
, получаем, что
или
.
Последнее
равенство означает, что матрица 
обратима, и её обратная матрица имеет вид 
,
т.е. выполнено равенство (1.14). ►
4) Если и 
, тогда матрица 
обратима и
.
(1.15)
◄ Действительно, используя свойство 5) умножения матриц, получаем, что
,
.
Откуда
следует обратимость матрицы и равенство (1.15). ►
5) Если 
, тогда 
и
(1.16)
◄ Докажем, например, обратимость матрицы 
,
Откуда
следует обратимость матрицы и первое равенство (1.16). Обратимость матрицы 
и второе равенство (1.16) доказывается аналогично. ►
6) Если 
, то во множестве 
всегда существует необратимые матрицы.
◄ Примером такой матрицы является матрица
.
Действительно,
равенство не может выполняться ни для какой матрицы из , так как в произведении последняя строка всегда нулевая и
поэтому
.►
Следующее утверждение по существу описывает все необратимые матрицы в .
Предложение 1.1. Если матрица является истинным делителем нуля, тогда она
необратима.
◄ Пусть матрица 
и существует такая матрица , 
, что 
или 
. Тогда матрица не может быть обратимой. Действительно, если предположить
существование такой матрицы , что
,
тогда
умножая обе части равенства 
на матрицу справа (или обе части равенства 
на матрицу слева), получаем, что
€
и аналогично в случае . ►
Справедливо и обратное утверждение.
Предложение
1.2. Если матрица отлична от нуль-матрицы и не является истинным делителем
нуля, тогда она обратима.