На главную v-garant.ru
Метод замены переменной Интегрирование по частям Вычислить криволинейный интеграл Поверхностный интеграл Функции комплексной переменной Функции нескольких переменных Векторное поле Решение типовых задач

Решение задач контрольной по математике. Типовые и курсовые расчеты

 Пример. а) Множество  является мультипликативной группой, т.е. операция умножения матриц определяет на этом множестве структуру группы.

Действительно, из свойства 5) обратимых матриц следует, что умножение матриц является внутренним законом композиции на множестве . Аксиома группы 1) является следствием свойства 3) умножения матриц. Единичная матрица, очевидно, обратима, так как , откуда следует аксиома группы 2), . Аксиома группы 3) является следствием свойства 2) обратимых матриц. ►

 б) Множество  является аддитивной абелевой группой, т.е. операция сложения матриц определяет на этом множестве структуру абелевой группы.

 ◄ Очевидно, что определенное выше поэлементное сложение матриц является внутренним законом композиции на множестве , а аксиомы абелевой группы являются следствием свойств 1) – 4) сложения матриц.  ►

 Если на множестве  определены два внутренних закона композиции, которые записываются как сложение и умножение и обладают свойствами:

 1) сложение определяет на  структуру абелевой группы;

 2) ;

 3)  для любых  из ,

тогда говорят, что на множестве  задана структура кольца. Если при этом по умножению существует единица, это кольцо называется кольцом с единицей, а если операция умножения коммутативна, кольцо называется коммутативным.

 Пример 4. а) Операции сложения и умножения чисел задают на множестве  структуру коммутативного кольца с единицей.

 б) Операции сложения и умножения матриц задают на множестве , , структуру некоммутативного кольца с единицей. 

 Коммутативное кольцо с единицей, в котором все отличные от нуля элементы обратимы, называется полем. Важнейшими примерами полей являются поле рациональных чисел  и поле действительных чисел .

 Пусть задано непустое множество , элементы которого мы будем называть векторами, и поле  с единицей 1. Если на множестве  определены внутренний закон композиции, записываемый как сложение векторов,

,

и внешний закон композиции над полем , записываемый как умножение вектора на скаляр,

,

и эти законы обладают свойствами:

 1) сложение векторов определяет на  структуру абелевой группы;

  2) ,

 3) ,

 4) ,

 5) ,

тогда говорят, что на множестве  задана структура линейного пространства над полем .

  Пример 5. Операции сложения матриц и умножения матрицы на число задают на множестве  структуру линейного пространства над полем   или кратко структуру действительного линейного пространства. 

 Непустое множество , на котором заданы два внутренних закона композиции (записываемых как сложение и умножение) и один внешний закон композиции над полем   (записываемый как умножение на число), называется алгеброй над полем , если:

 1) сложение и умножение задают на  структуру кольца,

 2) сложение и умножение на число задают на  структуру линейного пространства над полем ,

 3) .

 Если умножение коммутативно, алгебра называется коммутативной, если умножение обладает единицей, алгебра называется алгеброй с единицей.

Аналогично можно дать определения поверхностных интегралов IIрода по другим координатам:

Пусть в каждой точке ориентированной поверхности  определен вектор:

где функции  , , - непрерывные функции на поверхности S. Тогда можно определить поверхностный интеграл II рода в общем случае от векторной функции   по поверхности :

где - скалярное произведение вектора и

- вектора с координатами:

Следовательно, поверхностный интеграл II рода в общем случае можно записать:

То есть в общем случае интеграл можно записать как поверхностный интеграл I рода или как поверхностный интеграл II рода – по координатам.


Вычислить интеграл от функции комплексного переменного