Лекции по математике
Криволинейный интеграл
Векторное поле
Вычисление пределов
Примеры решения задач
Поверхностный интеграл
Решение типовых задач
Производная функции
Интегрирование по частям
Двойной интеграл
Тройной интеграл
Карта сайта

Решение задач контрольной по математике. Типовые и курсовые расчеты

Элементарные преобразования над матрицами и элементарные матрицы

  Элементарные преобразования над матрицами бывают только трёх типов:

 1) перемена местами двух строк или столбцов; обозначения –   или  соответственно;

 2) умножение строки или столбца на число, отличное от нуля; обозначения –  или  соответственно, ;

 3) добавление к какой-либо строке или столбцу другой строки или столбца, умноженных на произвольное число ; обозначения –  или  соответственно (элементарное преобразование этого типа называется трансвекцией).

В результате применения к матрице  элементарного преобразования первого типа её строки   и  (или столбцы  и ) поменяются местами; во втором случае строка  (или столбец ) будет заменена на строку  (или столбец ); в последнем случае строка  (или столбец ) будет заменена на строку  (или столбец ), а строка  (столбец ) остается неизменной.

 Свойства элементарных преобразований.

 1) Одно элементарное преобразование первого типа эквивалентно четырем элементарным преобразованиям второго и третьего типов.

 ◄ Пусть в матрице  нужно поменять местами, например, строки  и . Следующая цепочка элементарных преобразований второго и третьего типов приводит к результату

.  ►

 2) Элементарные преобразования обратимы, а обратные им преобразования являются элементарными преобразованиями того же самого типа, т.е. если матрица  получена из матрицы  с помощью элементарного преобразования, тогда матрица  может быть получена из матрицы  с помощью элементарного преобразования того же самого типа.

 ◄ Используя для обозначения обратных элементарных преобразований символ ( )-1 непосредственной проверкой убеждаемся, что

,

,

  . ►

 3) Квадратная матрица называется элементарной, если она получена из единичной матрицы с помощью одного элементарного преобразования. Несмотря на то, что имеется шесть видов элементарных преобразований, три строчных и три столбцовых, видов элементарных матриц всего три, так как одна и та же элементарная матрица может быть получена как с помощью строчного так и с помощью столбцового элементарных преобразований.

 ◄ Действительно, элементарные преобразования  и  порождают одну и ту же элементарную матрицу

 (1.17)

Элементарные преобразования  и  порождают одну и ту же элементарную матрицу

  (1.18)

Наконец, элементарные преобразования  и  порождают одну и туже элементарную матрицу

  (1.19)

 4) элементарные матрицы обратимы, обратные им матрицы элементарны и порождаются элементарными преобразованиями, обратными исходным элементарным преобразованиям.

 ◄ Предлагаем читателю самостоятельно убедиться в том, что матрица вида (1.17) обратна самой себе, а матрицы

   

являются соответственно обратными матрицами матриц вида (1.18) и (1.19). ►

 5) Пусть . Проведение в матрице  одного строчного (столбцового) элементарного преобразования равносильно умножению этой матрицы слева (справа) на элементарную матрицу порядка  (порядка ), отвечающую этому элементарному преобразованию.

  ◄ Ввиду свойства 1) элементарных преобразований в проверке нуждаются лишь элементарные преобразования второго и третьего типов. Предлагаем читателю показать самостоятельно, что умножение матрицы   вида (1.1) на матрицы вида (1.18) и (1.19) слева равносильно проведению в матрице  элементарных преобразований соответственно  и , а умножение на матрицы указанного вида справа равносильно проведению в ней элементарных преобразований соответственно  и . ►

Поверхностный интеграл II рода называют потоком векторного поля  через поверхность  или . Название «поток» связано с гидромеханической задачей – вычисление количества жидкости или газа, протекающего за единицу времени в заданном направлении через поверхность S. Переход к другой стороне поверхности меняет направление нормали к поверхности, а потому и знак поверхностного интеграла II рода.

Вычисление поверхностного интеграла II рода сводится к вычислению поверхностного интеграла I рода:

где - направляющие косинусы вектора нормали ; - функция, задающая поверхность S. Или вычисление поверхностного интеграла II рода сводится к вычислению суммы трех двойных интегралов:

где ПрyzS, ПрxzS, ПрxyS - проекции поверхности S на OYZ, OXZ и OXY соответственно, функции x (y;z), y (x;z) и z (x;y) – выражения, полученные из уравнения , задающего поверхность S, с помощью разрешения x, y и z относительно соответствующих координат.


Вычислить интеграл от функции комплексного переменного