Лекции по математике
Криволинейный интеграл
Векторное поле
Вычисление пределов
Примеры решения задач
Поверхностный интеграл
Решение типовых задач
Производная функции
Интегрирование по частям
Двойной интеграл
Тройной интеграл
Карта сайта

Решение задач контрольной по математике. Типовые и курсовые расчеты

Векторы

Найти площадь этого треугольника.

Решение: Есть несколько способов найти площадь треугольника, мы воспользуемся способом, связанным с векторами, а именно – геометрическим смыслом векторного произведения. Согласно ему, площадь треугольника АВС равна половине модулю векторного произведения векторов .

Векторное произведение векторов  равно

.

Модуль найденного векторного произведения равен

.

Следовательно, площадь треугольника АВС равна

Вопросы и задачи

п1. В треугольнике АВС сторона АВ разделена точками М и N на три равные части. Найти вектор , если .

п2. Дано: . Доказать, что ABCD – трапеция. (Указание: найти вектор  и доказать, что )

п3. Даны точки: А(0;2;3), В(-1;2;5), С(4;-2;-3).

 а) Найти координаты векторов .

 б) Найти координаты точки D, так, чтобы четырехугольник ABCD был параллелограммом

п4. Найти скалярное произведение векторов  и , если

п5. Даны 2 вектора: . Будучи отложены из одной точки, они образуют две стороны треугольника. Найти:

 а) длины сторон этого треугольника, б) углы этого треугольника

п6. Найти векторное произведение векторов  и , если

п7. Найти площадь треугольника из задачи п5.

п8. Пусть даны два вектора на плоскости: .

 а) запишите в координатном выражении условие коллинеарности (параллельности) этих векторов.

 б) запишите в координатном выражении условие перпендиклярности этих векторов.

 в) существует ли векторное произведение этих векторов? (если да – найдите, если нет – объясните)

г) вычислим объемы полученных «столбиков»:

д) в результате построено тело, состоящее из n «столбиков», объем которого равен:

приближенно равное объему цилиндроида.

е) для повышения точности равенства:  будем уменьшать размеры частей разбиения области D, увеличивая их количество, то есть n → ∞, но при условии стремления к нулю max ∆Si, стягивающегося в точку. Тогда можно записать точное равенство:

 

 

ж) этот предел и дает объем заданного цилиндроида.


На главную страницу сайта