На главную v-garant.ru
Метод замены переменной Интегрирование по частям Вычислить криволинейный интеграл Поверхностный интеграл Функции комплексной переменной Функции нескольких переменных Векторное поле Решение типовых задач

Решение задач контрольной по математике. Типовые и курсовые расчеты

 Пример Построить матрицу  приведённого вида, в эквивалентную матрице

.

  ◄ Начиная с первой строки, указывая на каждом шаге серию проводимых элементарных преобразований, получаем

. ►

Среди всех матриц размера  выделим множество диагональных матриц , где , у которых

Матрицу  удобно записывать в так называемом блочном виде

,  (1.21)

где  единичная матрица порядка , а  – обозначение, общее для нулевых блоков соответствующих размеров.

 Предложение 1.4. Для любой ненулевой матрицы  найдётся эквивалентная ей матрица  вида (1.21).

 ◄ Из предложения 1.3 следует, что существует матрица   приведённого вида, л‑эквивалентная, а поэтому и эквивалентная, матрице . Пусть  – число ненулевых строк матрицы . Меняя местами, если это нужно, строки и столбцы матрицы , приведём её к виду

.

Проводя в матрице  столбцовые элементарные преобразования

,

получим матрицу  вида (1.21), эквивалентную матрице . ►

Отношение эквивалентности.

 Пусть  – непустое множество произвольной природы и   – его декартов квадрат. Бинарным отношением на множестве  называется произвольное непустое подмножество   в . бинарное отношение на множестве   можно определить указанием всех пар , принадлежащих , говоря при этом, что элементы  и  из множества  находятся в отношении . Поскольку это не всегда удобно (например, если множество  бесконечно), то высказывание “” заменяется специальными высказываниями, зависящими от контекста, например,

.

которые читаются соответственно как “ больше ”, “ равно ”, “ влечёт ”, “ эквивалентно

 Бинарное отношение  на множестве называется отношением эквивалентности на множестве , если оно удовлетворяет условиям:

 1)  для любого ,

 2) если , тогда ,

 3) если  и , тогда .

Для отношения эквивалентности принято обозначение . Условия 1)‑3), называемые аксиомами отношения эквивалентности, в этом обозначении выглядят так:

 1’) , (рефлексивность)

 2’) , (симметричность)

 3’)  и . (транзитивность)

 Введение на множестве  какого-нибудь отношения эквивалентности приводит к разбиению множества на классы эквивалентности, то есть к представлению этого множества в виде объединения конечного или бесконечного числа попарно непересекающихся подмножеств эквивалентных между собой элементов. Множество классов эквивалентности при этом называется фактор-множеством множества  по бинарному отношению  и обозначается . Построение фактор-множества множества  по какому-нибудь отношению эквивалентности называется факторизацией множества . Задача факторизации множества является математической формализацией проблемы классификации объектов, с которой мы сталкиваемся не только в любой научной области, будь то физика (элементарные частицы), химия (таблица Менделеева), медицина (вирусология), лингвистика (части речи) или геология (классификация топов пород), но и в повседневной жизни (проблемы прописки, гражданства или деления Думы на фракции).

 В алгебре матриц отношения “л‑эквивалентности”, “п‑эквивалентности” и “эквивалентности”, введенные в предыдущем пункте, являются отношениями эквивалентности на множестве . Наиболее важным из них является последнее отношение, которое приводит к построению фактор-множества, в одном классе эквивалентности которого содержатся те и только те матрицы, которые строчными и столбцовыми элементарными преобразованиями приводятся к матрице  вида (1.21) с данным . Нетрудно посчитать, что различных видов матриц  всего . Это отношение эквивалентности в алгебре называется “одинаковый ранг” и подробно будет изучено во второй части нашего курса.

 Предлагаем читателю самостоятельно рассмотреть фактор-множества   по двум другим указанным выше отношениям эквивалентности при различных соотношениях между  и .

Задание 1.

а) Найти модуль и аргумент чисел = и = Изобразить числа на комплексной плоскости. Представить числа в тригонометрической и показательной форме.

б) Найти: , , .

Задание 2. Вычислить значение функции  в точке , ответ представить в алгебраической форме комплексного числа:

а) , ;

б) , .

Задание 3. Указать область дифференцируемости функции  и вычислить производную. Выделить действительную и мнимую часть полученной производной.

Задание 4. Определить вид кривой .

Задание 5. Построить область плоскости , определяемую данными неравенствами.

а) ;

б)

Задание 6. Проверить, может ли функция  быть мнимой частью некоторой аналитической функции , если да – восстановить ее, при условии .

Задание 7. Найти область плоскости , в которую отображается с помощью функции  область :  плоскости .


Вычислить интеграл от функции комплексного переменного