Лекции по математике
Криволинейный интеграл
Векторное поле
Вычисление пределов
Примеры решения задач
Поверхностный интеграл
Решение типовых задач
Производная функции
Интегрирование по частям
Двойной интеграл
Тройной интеграл
Карта сайта

Решение задач контрольной по математике. Типовые и курсовые расчеты

 Пример Построить матрицу  приведённого вида, в эквивалентную матрице

.

  ◄ Начиная с первой строки, указывая на каждом шаге серию проводимых элементарных преобразований, получаем

. ►

Среди всех матриц размера  выделим множество диагональных матриц , где , у которых

Матрицу  удобно записывать в так называемом блочном виде

,  (1.21)

где  единичная матрица порядка , а  – обозначение, общее для нулевых блоков соответствующих размеров.

 Предложение 1.4. Для любой ненулевой матрицы  найдётся эквивалентная ей матрица  вида (1.21).

 ◄ Из предложения 1.3 следует, что существует матрица   приведённого вида, л‑эквивалентная, а поэтому и эквивалентная, матрице . Пусть  – число ненулевых строк матрицы . Меняя местами, если это нужно, строки и столбцы матрицы , приведём её к виду

.

Проводя в матрице  столбцовые элементарные преобразования

,

получим матрицу  вида (1.21), эквивалентную матрице . ►

Отношение эквивалентности.

 Пусть  – непустое множество произвольной природы и   – его декартов квадрат. Бинарным отношением на множестве  называется произвольное непустое подмножество   в . бинарное отношение на множестве   можно определить указанием всех пар , принадлежащих , говоря при этом, что элементы  и  из множества  находятся в отношении . Поскольку это не всегда удобно (например, если множество  бесконечно), то высказывание “” заменяется специальными высказываниями, зависящими от контекста, например,

.

которые читаются соответственно как “ больше ”, “ равно ”, “ влечёт ”, “ эквивалентно

 Бинарное отношение  на множестве называется отношением эквивалентности на множестве , если оно удовлетворяет условиям:

 1)  для любого ,

 2) если , тогда ,

 3) если  и , тогда .

Для отношения эквивалентности принято обозначение . Условия 1)‑3), называемые аксиомами отношения эквивалентности, в этом обозначении выглядят так:

 1’) , (рефлексивность)

 2’) , (симметричность)

 3’)  и . (транзитивность)

 Введение на множестве  какого-нибудь отношения эквивалентности приводит к разбиению множества на классы эквивалентности, то есть к представлению этого множества в виде объединения конечного или бесконечного числа попарно непересекающихся подмножеств эквивалентных между собой элементов. Множество классов эквивалентности при этом называется фактор-множеством множества  по бинарному отношению  и обозначается . Построение фактор-множества множества  по какому-нибудь отношению эквивалентности называется факторизацией множества . Задача факторизации множества является математической формализацией проблемы классификации объектов, с которой мы сталкиваемся не только в любой научной области, будь то физика (элементарные частицы), химия (таблица Менделеева), медицина (вирусология), лингвистика (части речи) или геология (классификация топов пород), но и в повседневной жизни (проблемы прописки, гражданства или деления Думы на фракции).

 В алгебре матриц отношения “л‑эквивалентности”, “п‑эквивалентности” и “эквивалентности”, введенные в предыдущем пункте, являются отношениями эквивалентности на множестве . Наиболее важным из них является последнее отношение, которое приводит к построению фактор-множества, в одном классе эквивалентности которого содержатся те и только те матрицы, которые строчными и столбцовыми элементарными преобразованиями приводятся к матрице  вида (1.21) с данным . Нетрудно посчитать, что различных видов матриц  всего . Это отношение эквивалентности в алгебре называется “одинаковый ранг” и подробно будет изучено во второй части нашего курса.

 Предлагаем читателю самостоятельно рассмотреть фактор-множества   по двум другим указанным выше отношениям эквивалентности при различных соотношениях между  и .

Задание 1.

а) Найти модуль и аргумент чисел = и = Изобразить числа на комплексной плоскости. Представить числа в тригонометрической и показательной форме.

б) Найти: , , .

Задание 2. Вычислить значение функции  в точке , ответ представить в алгебраической форме комплексного числа:

а) , ;

б) , .

Задание 3. Указать область дифференцируемости функции  и вычислить производную. Выделить действительную и мнимую часть полученной производной.

Задание 4. Определить вид кривой .

Задание 5. Построить область плоскости , определяемую данными неравенствами.

а) ;

б)

Задание 6. Проверить, может ли функция  быть мнимой частью некоторой аналитической функции , если да – восстановить ее, при условии .

Задание 7. Найти область плоскости , в которую отображается с помощью функции  область :  плоскости .


Вычислить интеграл от функции комплексного переменного