На главную v-garant.ru
Метод замены переменной Интегрирование по частям Вычислить криволинейный интеграл Поверхностный интеграл Функции комплексной переменной Функции нескольких переменных Векторное поле Решение типовых задач

Решение задач контрольной по математике. Типовые и курсовые расчеты

1-й критерий обратимости матрицы. Для того, чтобы матрица  была обратимой, необходимо и достаточно, чтобы она была представима в виде произведения элементарных матриц.

Достаточность. Элементарные матрицы обратимы, а произведение обратимых матриц есть матрица обратимая. Поэтому утверждение “матрица, представимая в виде произведения элементарных матриц, обратима очевидно.

 Необходимость. Пусть матрица  обратима. Покажем, что она представима в виде произведения элементарных матриц. Прежде всего заметим, что в силу предложения 1.5 справедливо равенство (1.22), где все матрицы, входящие в это равенство, квадратные и имеют одинаковый порядок, например, . Наше утверждение будет верно, если мы покажем, что . В самом деле, матрицы

обратимы как произведение обратимых матриц. Поэтому обратимы матрицы   и . Из равенства (1.22) получаем, что матрица

и является обратимой как произведение трёх обратимых матриц. Однако, матрица   обратима в том и только том случае, когда . Действительно,  и поэтому обратима. Если же , то матрица  не может быть обратимой, так как последняя строка матрицы  в этом случае нулевая и поэтому последняя строка произведения  нулевая для любой матрицы , т.е. равенство  не может выполняться ни для каких матриц . В результате получаем, что матрица  в данном случае имеет вид

.  ►

 Пример 9. Выяснить, является ли следующая матрица обратимой

  ◄ Приводим матрицу  к виду ,

,

т.е. матрица  обратима. Действуя дальше так же, как и в примере 6, можно представить матрицу  в виде произведения элементарных матриц, а после этого найти обратную матрицу . Однако этот способ обращения матриц является слишком громоздким. Ниже в Гл.2 мы разберём более простой алгоритм отыскания обратной матрицы. ►

 Вернёмся к предложению 1.2. Это предложение является следствием предложений 1.5 и 1.6. В самом деле, нам нужно показать, что любая ненулевая и необратимая матрица  из , , является истинным делителем нуля.

 ◄ Пусть  и . В силу предложений 1.5 и 1.6 , где . Введём матрицы

и отметим, что . Так как , то

,

. ►

 В заключение этого пункта предлагаем читателю самостоятельно доказать следующее усиление предложения 1.6.

 Предложение 1.7. Пусть . Следующие утверждения равносильны:

 1) ;

 2) , где  – элементарная матрица порядка ;

 3) ;

 4) ;

 5)

Задание 11. Вычислить интеграл от функции комплексного переменного:

; АВ – отрезок прямой

Задание 12. Вычислить интегралы, используя теорему Коши о вычетах.

а) ;

б) .

Задание 13. Вычислить интегралы с помощью вычетов.


Вычислить интеграл от функции комплексного переменного