Лекции по математике
Криволинейный интеграл
Векторное поле
Вычисление пределов
Примеры решения задач
Поверхностный интеграл
Решение типовых задач
Производная функции
Интегрирование по частям
Двойной интеграл
Тройной интеграл
Карта сайта

Решение задач контрольной по математике. Типовые и курсовые расчеты

1-й критерий обратимости матрицы. Для того, чтобы матрица  была обратимой, необходимо и достаточно, чтобы она была представима в виде произведения элементарных матриц.

Достаточность. Элементарные матрицы обратимы, а произведение обратимых матриц есть матрица обратимая. Поэтому утверждение “матрица, представимая в виде произведения элементарных матриц, обратима очевидно.

 Необходимость. Пусть матрица  обратима. Покажем, что она представима в виде произведения элементарных матриц. Прежде всего заметим, что в силу предложения 1.5 справедливо равенство (1.22), где все матрицы, входящие в это равенство, квадратные и имеют одинаковый порядок, например, . Наше утверждение будет верно, если мы покажем, что . В самом деле, матрицы

обратимы как произведение обратимых матриц. Поэтому обратимы матрицы   и . Из равенства (1.22) получаем, что матрица

и является обратимой как произведение трёх обратимых матриц. Однако, матрица   обратима в том и только том случае, когда . Действительно,  и поэтому обратима. Если же , то матрица  не может быть обратимой, так как последняя строка матрицы  в этом случае нулевая и поэтому последняя строка произведения  нулевая для любой матрицы , т.е. равенство  не может выполняться ни для каких матриц . В результате получаем, что матрица  в данном случае имеет вид

.  ►

 Пример 9. Выяснить, является ли следующая матрица обратимой

  ◄ Приводим матрицу  к виду ,

,

т.е. матрица  обратима. Действуя дальше так же, как и в примере 6, можно представить матрицу  в виде произведения элементарных матриц, а после этого найти обратную матрицу . Однако этот способ обращения матриц является слишком громоздким. Ниже в Гл.2 мы разберём более простой алгоритм отыскания обратной матрицы. ►

 Вернёмся к предложению 1.2. Это предложение является следствием предложений 1.5 и 1.6. В самом деле, нам нужно показать, что любая ненулевая и необратимая матрица  из , , является истинным делителем нуля.

 ◄ Пусть  и . В силу предложений 1.5 и 1.6 , где . Введём матрицы

и отметим, что . Так как , то

,

. ►

 В заключение этого пункта предлагаем читателю самостоятельно доказать следующее усиление предложения 1.6.

 Предложение 1.7. Пусть . Следующие утверждения равносильны:

 1) ;

 2) , где  – элементарная матрица порядка ;

 3) ;

 4) ;

 5)

Задание 11. Вычислить интеграл от функции комплексного переменного:

; АВ – отрезок прямой

Задание 12. Вычислить интегралы, используя теорему Коши о вычетах.

а) ;

б) .

Задание 13. Вычислить интегралы с помощью вычетов.


Вычислить интеграл от функции комплексного переменного