Лекции по математике
Криволинейный интеграл
Векторное поле
Вычисление пределов
Примеры решения задач
Поверхностный интеграл
Решение типовых задач
Производная функции
Интегрирование по частям
Двойной интеграл
Тройной интеграл
Карта сайта

Решение задач контрольной по математике. Типовые и курсовые расчеты

Примеры решения и оформления задач контрольной работы

Неопределенный интеграл

Пример 1. Найти интеграл .

Решение. Поделив каждое слагаемое числителя подынтегральной дроби на знаменатель, и используя, что интеграл от суммы функций равен сумме интегралов от этих функций, получим:

.

Первый интеграл является табличным: .

Во втором интеграле воспользуемся тем, что .

Получим следующую запись .

Если представить, что arcsinx=t, то данный интеграл будет интегралом от степени , но явно переходить к переменной t нет необходимости.

.

Таким образом, для заданного интеграла имеем:

.

Пример 2. Найти интеграл .

Решение. Как и в примере 1, вычислим дифференциал  .

Числитель подынтегральной дроби  преобразуем тождественно к виду, содержащему . Исходя из преобразований, сделанных выше, получаем:

 .

Разделив почленно подынтегральную функцию, получим:

Первый интеграл это интеграл вида .

.

Для того чтобы вычислить второй интеграл, выделим полный квадрат из выражения ():

Второй инте грал теперь будет иметь следующий вид:

.

С учетом того, что , этот интеграл табличный.

Таким образом, для заданного интеграла имеем:

.

НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ.

ПРИЕМЫ И МЕТОДЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ

ПРИМЕР. Функция  является первообразной для  на , так как для любого  имеем .

Для одной и той же функции существует бесконечное множество первообразных. Например, для  первообразными на  являются также функции ,  и вообще , где  – произвольное число, поскольку  для любого .

Аналогичные рассуждения верны и для первообразной произвольной функции .

Свойства первообразных описываются легко проверяемыми теоремами.

ТЕОРЕМА 1. Если  – первообразная для функции  на , то функция , где  – произвольное число, также является первообразной для  на .

ТЕОРЕМА 2. Если  и  – произвольные первообразные для  на , то значение разности этих первообразных в каждой точке есть одно и то же число, т.е.  на , где  – некоторое число.

Теоремы 1 и 2 показывают, что если функция имеет первообразную , то множество функций , где  и , образует множество всех первообразных для функции   на .

Для   множество всех первообразных есть множество функций , .


Вычислить интеграл от функции комплексного переменного